Sendo f(x)=3 x+1, calcule
f(-1), f(0), f(x+h), f(x+h)-f(x) e \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x+1 e pede que calculemos os seguintes itens:
f(-1), f(0), f(x+h), f(x+h)-f(x) e \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Informações importantes fornecidas: a expressão analítica de f (ou seja, como calcular f para qualquer entrada) e as variáveis x e h. Para o último item é necessário assumir que h\neq0 para que a divisão por h faça sentido.

Passo 2

Como calcular f em um ponto: a regra é simples — substituímos o valor da variável x na expressão de f.
Exemplo aplicado a f(-1):
f(-1)=3(-1)+1=-3+1=-2.
Aqui usei a substituição direta e a soma de inteiros.

Passo 3

Agora calculamos f(0) usando a mesma ideia de substituição:
f(0)=3\cdot 0+1=0+1=1.
Isso mostra que quando x=0 a parte 3x some.

Passo 4

Para f(x+h) substituímos x+h no lugar de x na fórmula de f. Aplicando a propriedade distributiva (multiplicar 3 por cada termo dentro do parêntese):
f(x+h)=3(x+h)+1=3x+3h+1.
Aqui expliquei a distribuição: 3(x+h)=3x+3h.

Passo 5

Calculamos a diferença f(x+h)-f(x) usando as expressões já obtidas. Primeiro escrevemos cada termo:
f(x+h)=3x+3h+1,\qquad f(x)=3x+1.
Agora subtraímos termo a termo:
f(x+h)-f(x)=(3x+3h+1)-(3x+1).
Ao distribuir o sinal negativo e cancelar termos iguais obtemos
f(x+h)-f(x)=3x+3h+1-3x-1=3h.
Perceba que 3x e 1 se cancelam, sobrando apenas 3h.

Passo 6

Finalmente dividimos a diferença por h (lembrando que h\neq0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3h}{h}=3.
A simplificação \dfrac{3h}{h}=3 é válida porque podemos cancelar h desde que h\neq0.
Interpretação rápida: esse quociente é constante e igual a 3, que é a inclinação da reta f(x)=3x+1.

Resposta

f(-1)=-2
f(0)=1
f(x+h)=3x+3h+1
f(x+h)-f(x)=3h
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=3

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