Escreva a equação cartesiana em coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado dá a equação cartesiana
e pede para escrevê-la em coordenadas esféricas. As informações relevantes são: a equação acima (em
) e que devemos expressá-la usando as variáveis esféricas usuais.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas
e coordenadas esféricas
. Vou usar a convenção em que:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo azimutal no plano
(medido a partir do eixo
) e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo. As fórmulas são
Aqui
,
e
. Essas relações definem como passar de
para
.
Passo 3
Uma identidade muito útil é a soma dos quadrados:
Vou mostrar por que: substituindo
,
,
das fórmulas acima,
Agrupando e usando
e
, obtemos
Passo 4
Voltemos à equação dada. Ela é
Como
, podemos reescrever a soma
como
. Assim a equação fica
Passo 5
Agora substituímos
na equação
. Isso dá
Fatorando
, obtemos
Logo as soluções são
ou
.
Passo 6
Interpretação e domínio:
é apenas o ponto origem. Para a solução
lembramos que sempre
, portanto precisamos de
. Isso ocorre quando
. Note que em
temos
(origem), e para
obtemos a superfície não-trivial dada por
.
Observação geométrica rápida (útil na prova): completando o quadrado na forma cartesiana,
que é uma esfera de centro
e raio
. Em coordenadas esféricas essa esfera é descrita por
(com
no intervalo indicado), como derivamos.