Escreva a equação cartesiana em coordenadas esféricas
z^{2}+x^{2}+y^{2}-z=0

Passo 1

O enunciado dá a equação cartesiana
z^{2}+x^{2}+y^{2}-z=0
e pede para escrevê-la em coordenadas esféricas. As informações relevantes são: a equação acima (em x,y,z) e que devemos expressá-la usando as variáveis esféricas usuais.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vou usar a convenção em que:
\rho é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x) e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo. As fórmulas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui \rho\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi]. Essas relações definem como passar de (\rho,\theta,\varphi) para (x,y,z).

Passo 3

Uma identidade muito útil é a soma dos quadrados:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Vou mostrar por que: substituindo x, y, z das fórmulas acima,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\rho^{2}\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta+\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
Agrupando e usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1, obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi)=\rho^{2}.

Passo 4

Voltemos à equação dada. Ela é
z^{2}+x^{2}+y^{2}-z=0.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, podemos reescrever a soma z^{2}+x^{2}+y^{2} como \rho^{2}. Assim a equação fica
\rho^{2}-z=0.

Passo 5

Agora substituímos z=\rho\cos\varphi na equação \rho^{2}-z=0. Isso dá
\rho^{2}-\rho\cos\varphi=0.
Fatorando \rho, obtemos
\rho(\rho-\cos\varphi)=0.
Logo as soluções são \rho=0 ou \rho=\cos\varphi.

Passo 6

Interpretação e domínio: \rho=0 é apenas o ponto origem. Para a solução \rho=\cos\varphi lembramos que sempre \rho\ge 0, portanto precisamos de \cos\varphi\ge 0. Isso ocorre quando \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]. Note que em \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos \rho=0 (origem), e para 0\le\varphi<\tfrac{\pi}{2} obtemos a superfície não-trivial dada por \rho=\cos\varphi.
Observação geométrica rápida (útil na prova): completando o quadrado na forma cartesiana,
x^{2}+y^{2}+z^{2}-z=0 \iff x^{2}+y^{2}+\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2},
que é uma esfera de centro \left(0,0,\tfrac{1}{2}\right) e raio \tfrac{1}{2}. Em coordenadas esféricas essa esfera é descrita por \rho=\cos\varphi (com \varphi no intervalo indicado), como derivamos.

Resposta

\rho=\cos\varphi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}
\rho=0

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