Escreva uma equação cartesiana que represente as seguintes curvas:
r(theta)=(2 cos theta, 12 sin theta, tan theta), -pi2 <= theta <= pi2. Resp.: y=6 x z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma equação cartesiana que represente a curva definida por r(theta) = (2 cos theta, 12 sin theta, tan theta), onde theta varia entre -pi2 e pi2. Vamos precisar usar trigonometria e entender como relacionar as coordenadas x, y e z para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
x = 2 cos theta
y = 12 sin theta
z = tan theta
Queremos relacionar x, y e z sem o theta.

Passo 3

Vamos começar relacionando x e y. Sabemos que:
cos theta = x2
sin theta = y12
Lembrando que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, podemos substituir:
( x2 )^2 + ( y12 )^2 = 1
Mas isso nos dá a equação de uma elipse, e ainda precisamos incorporar o z.

Passo 4

Observando a componente z = tan theta, sabemos que tan theta = sin thetacos theta. Vamos substituir as expressões que encontramos para sin theta e cos theta:
z = y12x2 = y12 cdot 2x = y6x
Rearranjando essa igualdade para isolar y:
y = 6x z

Resposta

y = 6 x z

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