Escreva uma equação cartesiana que represente as seguintes curvas:
. Resp.:
no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos uma equação cartesiana que represente a curva definida pelo vetor posição
, onde
varia de
a
. Aqui, a matéria que estamos trabalhando envolve coordenadas paramétricas e conversão para coordenadas cartesianas. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para fazer essa conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva paramétrica. Temos:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Vamos lembrar das definições de
e
em termos de
e
:
Mas, para eliminar
, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental:
Passo 4
Usando as expressões que temos para
e
:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Passo 6
Além disso, sabemos que o valor de
é constante e igual a 3. Portanto, a equação descreve uma superfície no plano
.
Resposta
A equação cartesiana é
no plano
.