Escreva uma equação cartesiana que represente as seguintes curvas:
r(theta)=(sec theta, 3,2 tan theta), -pi2 <= theta <= pi2. Resp.: 4 x^2-z^2=4 no plano y=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos uma equação cartesiana que represente a curva definida pelo vetor posição r(theta) = (sec theta, 3, 2 tan theta), onde theta varia de -pi2 a pi2. Aqui, a matéria que estamos trabalhando envolve coordenadas paramétricas e conversão para coordenadas cartesianas. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva paramétrica. Temos:
  • x = sec theta
  • y = 3
  • z = 2 tan theta
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro theta e relacionar x e z diretamente.

Passo 3

Vamos lembrar das definições de sec theta e tan theta em termos de cos theta e sin theta:
  • sec theta = 1cos theta
  • tan theta = sin thetacos theta
Mas, para eliminar theta, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental:
sec^2 theta - tan^2 theta = 1

Passo 4

Usando as expressões que temos para x e z:
  • x = sec theta implies sec theta = x
  • z = 2 tan theta implies tan theta = z2
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
x^2 - (z2)^2 = 1

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
x^2 - z^24 = 1
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
4x^2 - z^2 = 4

Passo 6

Além disso, sabemos que o valor de y é constante e igual a 3. Portanto, a equação descreve uma superfície no plano y = 3.

Resposta

A equação cartesiana é 4x^2 - z^2 = 4 no plano y=3.

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