Escreva uma equação cartesiana que represente as seguintes curvas:
r(theta)=(2+3 cos theta, 5+3 sin theta, 19), 0 <= theta <= 2 pi. Resp.: (x-2)^2+(y-5)^2=9 no plano z=19.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização de uma curva em R^3 por
r(theta) = (,2 + 3costheta,;5 + 3sintheta,;19,), 0 <= theta <= 2pi
O conteúdo é conversão de coordenadas paramétricas para equação cartesiana; vamos usar as relações
x = 2 + 3costheta, y = 5 + 3sintheta, z = 19
e a identidade trigonométrica cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 2

Da parametrização temos
costheta = x-23, sintheta = y-53,
e também z = 19, que indica que a curva está contida no plano horizontal z=19.

Passo 3

Aplicando a identidade
cos^2theta + sin^2theta = 1
substituindo as expressões de costheta e sintheta, obtemos
l(x-23r)^2 + l(y-53r)^2 = 1
Multiplicando ambos os lados por 3^2 resulta
(x-2)^2 + (y-5)^2 = 9

Resposta

(x-2)^2 + (y-5)^2 = 9 no plano z = 19

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