Escreva uma equação cartesiana que represente as seguintes curvas:
r(t)=(t+3,0,4 t^2-1), t>0. Resp.: z=4 x^2-24 x+35 no plano y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer transformar a equação vetorial r(t) = (t+3, , 0, , 4t^2-1) em uma equação cartesiana. Isso significa que vamos relacionar diretamente as coordenadas x, y e z sem depender do parâmetro t. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre as variáveis no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
r(t) = (x(t), , y(t), , z(t)) = (t + 3, , 0, , 4t^2 - 1)
Aqui, temos:
x = t + 3 y = 0 z = 4t^2 - 1

Passo 3

Como queremos uma equação que relacione x e z, e já sabemos que y = 0, podemos focar nas equações de x e z. Primeiro, vamos resolver a equação de x para encontrar t em termos de x:
x = t + 3 Rightarrow t = x - 3

Passo 4

Agora que temos t em termos de x, vamos substituir esse valor na equação de z para eliminar o parâmetro t:
z = 4t^2 - 1 Rightarrow z = 4(x - 3)^2 - 1

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão para deixar a equação mais clara:
z = 4(x - 3)^2 - 1 = 4(x^2 - 6x + 9) - 1 = 4x^2 - 24x + 36 - 1 = 4x^2 - 24x + 35

Resposta

A equação cartesiana que representa a curva é:
z = 4x^2 - 24x + 35 no plano y = 0

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