Integre as seguintes funções vetoriais:
r(t)=e^t i+ln t k.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva indefinida de uma função vetorial vec r(t)=e^t,vec i + ln t,vec k. Para resolver, vamos usar que a integração de uma função vetorial se faz componente a componente e, para a componente ln t, aplicaremos integração por partes.

Passo 2

Integramos a componente em vec i. Como essa componente é e^t, temos\r
integral e^t,dt = e^t + C1\r
Aqui C1 é uma constante de integração associada à direção vec i.

Passo 3

A função não tem componente em vec j, o que equivale a integrar zero:\r
integral 0,dt = C2,\r
sendo C2 a constante de integração na direção vec j.

Passo 4

Para a componente em vec k, que é ln t, usamos integração por partes. Tomamos\r
u = ln t, dv = dt,\r
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du = 1t,dt e v = t. Assim,\r
integral ln t,dt = tln t - integral tcdot1t,dt = tln t - integral 1,dt = tln t - t + C3

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos a primitiva geral como\r
integral vec r(t),dt = l(e^t + C1r),vec i + C2,vec j + l(tln t - t + C3r),vec k\r
Podemos agrupar as constantes num único vetor constante vec C.

Resposta

integral vec r(t),dt = e^t,vec i + l(tln t - tr),vec k + vec C

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