Escreva a equação em coordenadas esféricas.
(a) x^2-2 x+y^2+z^2=0
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) escrever a superfície
x^2-2x+y^2+z^2=0
em coordenadas esféricas;
(b) calcular
integral triplaBl(x^2+y^2+z^2r)^2 ,dV,
onde B é a bola de centro na origem e raio 5.
Para isso vamos usar a definição de coordenadas esféricas e a expressão do elemento de volume em esféricas.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas por
x=rho,sinphicostheta, y=rho,sinphisintheta, z=rho,cosphi,
com 0<=rho<infty, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi.
Note que
x^2+y^2+z^2=rho^2
Substituindo na equação dada:
x^2-2x+y^2+z^2 =rho^2-2l(rho,sinphicosthetar) =rho^2-2rho,sinphicostheta=0
Logo a superfície em coordenadas esféricas satisfaz
rho^2-2rho,sinphicostheta=0 Longrightarrow rho=2,sinphicostheta (rhoneq0)

Passo 3

Para o integral, em coordenadas esféricas temos
x^2+y^2+z^2=rho^2, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
No domínio B (bola de raio 5) os limites são
0<=rho<=5, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi
O integral fica
integral triplaBl(x^2+y^2+z^2r)^2dV =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^5 l(rho^2r)^2,rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^5rho^6sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Calculamos separadamente os integrandos:
integral0^5rho^6drho =rho^77|0^5 =5^77 =781257,
integral0^pisinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi =2, integral0^2pidtheta =2pi
Multiplicando tudo:
integral triplaBl(x^2+y^2+z^2r)^2dV = 781257times 2times 2pi =312500pi7

Resposta

(a) Em coordenadas esféricas a superfície é
rho^2-2rho,sinphicostheta=0 Longrightarrow rho=2,sinphicostheta
(b)
integral triplaBl(x^2+y^2+z^2r)^2dV =312500pi7

Exercícios relacionados