Escreva a equação da esfera de raio 5 com centro no ponto C=(2,-1,3). Verifique se os pontos P_{1}=(3,0,7) e P_{2}=(2,3,6) pertencem à esfera.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de raio 5 com centro em C=(2,-1,3) e depois verificar se os pontos P_{1}=(3,0,7) e P_{2}=(2,3,6) pertencem a essa esfera. Usaremos a forma padrão da equação de uma esfera no espaço.

Passo 2

A forma padrão da equação de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r é
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2.
Aplicando a=2, b=-1, c=3 e r=5, obtemos
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25.

Passo 3

Para saber se P_{1}=(3,0,7) está na esfera, substituímos x=3, y=0, z=7 na equação:
(3 - 2)^2 + (0 + 1)^2 + (7 - 3)^2 = 1^2 + 1^2 + 4^2 = 1 + 1 + 16 = 18.
Como 18 \neq 25, concluímos que P_{1} não pertence à esfera.

Passo 4

Para saber se P_{2}=(2,3,6) está na esfera, substituímos x=2, y=3, z=6:
(2 - 2)^2 + (3 + 1)^2 + (6 - 3)^2 = 0^2 + 4^2 + 3^2 = 0 + 16 + 9 = 25.
Como 25 = 25, concluímos que P_{2} pertence à esfera.

Resposta

A equação da esfera é
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25.
P_{1} não pertence à esfera e P_{2} pertence à esfera.

Exercícios relacionados