Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método da eliminação.
\begin{cases}3 x+2 y+z= & 2 \\\\ 4 x+2 y+2 z= & 8 \\\ x-y+z= & 4\end{cases}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 3x + 2y + z = 2,\\\\ 4x + 2y + 2z = 8,\\\ x - y + z = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é sistemas lineares e o método da eliminação, que consiste em usar combinações lineares das equações para zerar variáveis e resolver passo a passo.

Passo 2

Para simplificar, escolhemos como pivô a equação que já tem coeficiente 1 em x, isto é
x - y + z = 4.
Reescrevendo o sistema com ela em primeiro lugar, temos
\begin{cases} x - y + z = 4,\\\\ 3x + 2y + z = 2,\\\\ 4x + 2y + 2z = 8. \end{cases}

Passo 3

Agora eliminamos x das duas últimas equações usando combinações com a primeira:
L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1\quad\text{e}\quad L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1.
Na segunda linha:
3x + 2y + z - 3\bigl(x - y + z\bigr) = 0x + (2y+3y) + (z-3z) = 5y - 2z,
e o lado direito fica 2 - 3\cdot4 = -10.
Na terceira linha:
4x + 2y + 2z - 4\bigl(x - y + z\bigr) = 0x + (2y+4y) + (2z-4z) = 6y - 2z,
com lado direito 8 - 4\cdot4 = -8.
O sistema vira
\begin{cases} x - y + z = 4,\\\\ 5y - 2z = -10,\\\\ 6y - 2z = -8. \end{cases}

Passo 4

Para encontrar y, eliminamos z das duas últimas equações por
\bigl(6y - 2z\bigr) - \bigl(5y - 2z\bigr) = y = -8 - (-10) = 2.
Logo, y = 2.

Passo 5

Substituindo y=2 em 5y - 2z = -10:
5\cdot2 - 2z = -10 \quad\Longrightarrow\quad 10 - 2z = -10 \quad\Longrightarrow\quad -2z = -20 \quad\Longrightarrow\quad z = 10.

Passo 6

Finalmente, substituímos y=2 e z=10 em x - y + z = 4:
x - 2 + 10 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + 8 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.

Resposta

x = -4,\;y = 2,\;z = 10.

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