Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto P e é concêntrica com S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+ x+2 y-2 z-1=0, nos casos onde
P=\left(\frac{-1}{2},-1,0\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de todas as esferas que são concêntricas com
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+2y-2z-1=0
e que passam pelo ponto
P=\Bigl(-\tfrac12,-1,0\Bigr).
Conteúdo: equações gerais de esferas, identificação do centro a partir da forma
\,x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2v y+2w z+d=0, e condição de que uma esfera contenha um ponto.

Passo 2

Identificamos o centro de S. Na forma
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2v y+2w z+d=0
temos 2u=1, 2v=2, 2w=-2. Logo
u=\tfrac12,\quad v=1,\quad w=-1.
O centro é
C = (-u,-v,-w) = \bigl(-\tfrac12,-1,1\bigr).

Passo 3

A família de esferas concêntricas com S mantém os mesmos coeficientes de x,y,z e varia apenas o termo constante. Assim a equação geral é
x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+2y-2z + k = 0,
onde k é uma constante a determinar.

Passo 4

Impondo que P esteja na esfera, substituímos
\,x=-\tfrac12,\;y=-1,\;z=0 na equação e igualamos a zero:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2}+(-1)^{2}+0^{2} + \bigl(-\tfrac12\bigr) + 2(-1) -2\cdot0 + k = 0.
Calculando,
\tfrac14 + 1 - \tfrac12 -2 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac54 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac54.

Resposta

A equação da esfera procurada é
x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+2y-2z+\tfrac54=0.

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