Escreva a equação de uma parábola com a reta tangente dada:
y=x+1, no ponto x0=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação de uma parábola que tem a reta tangente y = x + 1 no ponto onde x0 = 7 . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com propriedades de parábolas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a equação da parábola com a reta tangente dada no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a equação da parábola seja da forma geral:
y = ax^2 + bx + c
Onde a , b e c são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que a reta tangente y = x + 1 toca a parábola exatamente no ponto onde x0 = 7 . Isso significa que, nesse ponto, as duas funções têm o mesmo valor de y . Então, substituindo x = 7 na equação da parábola, temos:
a(7)^2 + b(7) + c = 7 + 1
49a + 7b + c = 8 (Equação 1) çã

Passo 4

Além disso, a reta tangente tem a mesma inclinação que a parábola no ponto de tangência. A inclinação da reta y = x + 1 é 1. Vamos encontrar a derivada da parábola para determinar a inclinação da parábola:
dydx = 2ax + b
No ponto x = 7 , essa derivada deve ser igual a 1:
2a(7) + b = 1
14a + b = 1 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas ( a , b , c ). Para resolver isso, vamos expressar uma variável em termos das outras. A Equação 2 pode ser rearranjada para encontrar b :
b = 1 - 14a

Passo 6

Substituímos b na Equação 1:
49a + 7(1 - 14a) + c = 8
49a + 7 - 98a + c = 8
-49a + c = 1
c = 49a + 1

Passo 7

Até aqui, temos b e c em termos de a . Como temos mais uma variável do que equações, podemos escolher um valor para a para obter uma solução específica. Vamos escolher a = 0 para simplificar:
a = 0
Então:
b = 1 - 14(0) = 1
c = 49(0) + 1 = 1

Passo 8

Substituindo a , b e c na equação da parábola, temos:
y = 0x^2 + 1x + 1
y = x + 1

Resposta

A equação da parábola é y = x + 1 .

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