Escreva a equação de uma parábola com a reta tangente dada:
, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação de uma parábola que tem a reta tangente
no ponto onde
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com propriedades de parábolas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a equação da parábola com a reta tangente dada no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a equação da parábola seja da forma geral:
Onde
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que a reta tangente
toca a parábola exatamente no ponto onde
. Isso significa que, nesse ponto, as duas funções têm o mesmo valor de
. Então, substituindo
na equação da parábola, temos:
Passo 4
Além disso, a reta tangente tem a mesma inclinação que a parábola no ponto de tangência. A inclinação da reta
é 1. Vamos encontrar a derivada da parábola para determinar a inclinação da parábola:
No ponto
, essa derivada deve ser igual a 1:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas (
,
,
). Para resolver isso, vamos expressar uma variável em termos das outras. A Equação 2 pode ser rearranjada para encontrar
:
Passo 6
Substituímos
na Equação 1:
Passo 7
Até aqui, temos
e
em termos de
. Como temos mais uma variável do que equações, podemos escolher um valor para
para obter uma solução específica. Vamos escolher
para simplificar:
Então:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação da parábola, temos:
Resposta
A equação da parábola é
.