Escreva a equação de uma parábola com a reta tangente dada: , no ponto
Passo 1
O enunciado pede uma parábola cuja reta tangente em seja . Vamos assumir a forma genérica
e usar dois fatos: a derivada em deve ser a inclinação da reta tangente (aqui ) e a reta tangente deve passar pelo ponto de tangência, que tem que satisfazer .
Passo 2
A derivada é
Em essa inclinação tem que ser , logo
Passo 3
A reta tangente em é
Para que isso coincida com é preciso que o ponto de tangência satisfaça . Assim
Passo 4
Do sistema
da primeira equação obtemos
b = -1 - 2araiz3
Substituindo na segunda,
3a + (-1-2araiz3)raiz3 + c = -raiz3 ;Longrightarrow; 3a - raiz3 - 6a + c = -raiz3 ;Longrightarrow; c = 3a
Passo 5
Portanto a família de parábolas é
y = ax^2 + (-1 - 2araiz3),x + 3a,
que pode ser reescrita como
y = a,(x-raiz3)^2 ;-; x, aneq0
Escolhendo por exemplo a=1, uma resposta concreta é