Escreva a equação de uma parábola com a reta tangente dada:
y=-x, no ponto x0=raiz3

Passo 1

O enunciado pede uma parábola cuja reta tangente em x0=raiz3 seja y=-x. Vamos assumir a forma genérica
y = ax^2 + bx + c
e usar dois fatos: a derivada em x0 deve ser a inclinação da reta tangente (aqui -1) e a reta tangente deve passar pelo ponto de tangência, que tem que satisfazer y=-x.

Passo 2

A derivada é
y' = 2ax + b
Em x=raiz3 essa inclinação tem que ser -1, logo
2araiz3 + b = -1

Passo 3

A reta tangente em x0=raiz3 é
y - y(raiz3) = -1l(x - raiz3r)
Para que isso coincida com y=-x é preciso que o ponto de tangência satisfaça y(raiz3)=-raiz3. Assim
a(raiz3)^2 + braiz3 + c = -raiz3

Passo 4

Do sistema
2araiz3 + b = -1, 3a + braiz3 + c = -raiz3,
da primeira equação obtemos
b = -1 - 2araiz3
Substituindo na segunda,
3a + (-1-2araiz3)raiz3 + c = -raiz3 ;Longrightarrow; 3a - raiz3 - 6a + c = -raiz3 ;Longrightarrow; c = 3a

Passo 5

Portanto a família de parábolas é
y = ax^2 + (-1 - 2araiz3),x + 3a,
que pode ser reescrita como
y = a,(x-raiz3)^2 ;-; x, aneq0
Escolhendo por exemplo a=1, uma resposta concreta é
y = (x-raiz3)^2 - x = x^2 - (2raiz3+1),x + 3

Resposta

Uma forma geral é
y = a,(x-raiz3)^2 - x, aneq 0
Por exemplo, para a=1:
y = (x-raiz3)^2 - x = x^2 - (2raiz3+1),x + 3

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