Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos uma certa região
em torno do eixo
. A região
está limitada pelas retas
,
, pelo eixo
e pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para volume de sólido de revolução, que envolve integrar áreas de círculos formados pelas funções ao girar em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as funções que estão delimitando a região
. Temos
e
. Essas duas curvas se cruzam nos pontos onde
, ou seja,
, o que dá
e
. Mas como estamos olhando para
, vamos focar nessa parte.
Passo 3
Para calcular o volume
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a função que define a “altura” do círculo em cada ponto
. Mas como temos duas funções delimitando a região, precisamos calcular a diferença entre os volumes formados por cada uma.
Passo 4
Nesse caso,
(a função de cima) e
(a função de baixo). Então, o volume total
será:
Isso porque queremos a área entre as duas curvas ao girar em torno do eixo
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Substituindo os limites de 1 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Somando os resultados:
Então, o volume é:
Resposta
O volume
do sólido é
unidades cúbicas.