Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2, 1x <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos uma certa região A em torno do eixo x . A região A está limitada pelas retas x = 1 , x = 2 , pelo eixo x e pelas curvas y = 1x e y = x . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para volume de sólido de revolução, que envolve integrar áreas de círculos formados pelas funções ao girar em torno do eixo x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as funções que estão delimitando a região A . Temos y = x e y = 1x . Essas duas curvas se cruzam nos pontos onde x = 1x , ou seja, x^2 = 1 , o que dá x = 1 e x = -1 . Mas como estamos olhando para 1 <= x <= 2 , vamos focar nessa parte.

Passo 3

Para calcular o volume V , usamos a fórmula:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx
Aqui, f(x) é a função que define a “altura” do círculo em cada ponto x . Mas como temos duas funções delimitando a região, precisamos calcular a diferença entre os volumes formados por cada uma.

Passo 4

Nesse caso, f(x) = x (a função de cima) e g(x) = 1x (a função de baixo). Então, o volume total V será:
V = pi integral1^2 [ (x)^2 - (1x)^2 ] dx
Isso porque queremos a área entre as duas curvas ao girar em torno do eixo x .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(x)^2 - (1x)^2 = x^2 - 1x^2
Então, a integral fica:
V = pi integral1^2 ( x^2 - 1x^2 ) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( x^2 - 1x^2 ) dx = integral x^2 dx - integral 1x^2 dx
Integrando termo a termo:
integral x^2 dx = x^33
integral 1x^2 dx = -1x

Passo 7

Substituindo os limites de 1 a 2:
[ x^33 ]1^2 - [ -1x ]1^2
Calculando cada parte:
Para x^33 :
2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73
Para -1x :
- ( -12 + 11 ) = 12 - 1 = -12

Passo 8

Somando os resultados:
73 - 12 = 146 - 36 = 116
Então, o volume é:
V = pi times 116 = 11pi6

Resposta

O volume V do sólido é 11pi6 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados