Mostre que:
arcsen x+arccos x=pi2

Passo 1

A questão pede para mostrar que a soma das funções inversas seno e cosseno satisfaz sempre a relação arcsin x + arccos x = tfracpi2. Esse é um problema de funções inversas de trigonometria e vamos precisar conhecer a derivada de arcsin x e de arccos x, além de avaliar um caso particular para determinar a constante de integração.

Passo 2

Definimos a função f(x)=arcsin x + arccos x, válida para xin[-1,1]. Calculando a derivada, usamos tfracddxl(arcsin xr)=tfrac1raiz1-x^2 e tfracddxl(arccos xr)=-tfrac1raiz1-x^2. Logo,
f'(x)=1raiz1-x^2 -1raiz1-x^2=0

Passo 3

Como f'(x)=0, a função f é constante em todo o intervalo [-1,1]. Para descobrir esse valor constante, avaliamos em um ponto fácil, por exemplo x=0. Sabemos que arcsin0=0 e arccos0=tfracpi2, logo f(0)=0+tfracpi2=tfracpi2. Portanto, para todo xin[-1,1] vale
arcsin x + arccos x=pi2

Resposta

arcsin x + arccos x = tfracpi2

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