Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano que contém os pontos e e é paralelo ao eixo . O ponto médio de pertence a esse plano? (R.: , sim)
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação cartesiana de um plano que contém os pontos A = (7, 2, -3) e B = (5, 6, -4) , e que é paralelo ao eixo Ox . Além disso, precisamos verificar se o ponto médio de AB pertence a esse plano. Para isso, vamos precisar dos conceitos de vetores, equações de plano e geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor do segmento AB . Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas dos pontos B e A :
AB = B - A = (5 - 7, 6 - 2, -4 - (-3)) = (-2, 4, -1)
Esse vetor indica a direção do segmento AB .
Passo 3
Como o plano é paralelo ao eixo Ox , isso significa que o vetor diretor do eixo Ox , que é i = (1, 0, 0) , também está no plano. Agora temos dois vetores diretores no plano:
v1 = AB = (-2, 4, -1) e v2 = i = (1, 0, 0)
Passo 4
Para escrever as equações paramétricas do plano, escolhemos um ponto conhecido no plano, que pode ser o ponto A , e usamos os vetores diretores v1 e v2 com parâmetros a e b :
x = 7 - 2a + b y = 2 + 4a z = -3 - a
Essas são as equações paramétricas do plano.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação cartesiana do plano. Para isso, precisamos determinar o vetor normal ao plano, que é perpendicular aos vetores diretores v1 e v2 . Calculamos o produto vetorial:
n = v1 times v2 = i & j & k -2 & 4 & -1 1 & 0 & 0 = (0, -1, -4)
Portanto, o vetor normal é n = (0, -1, -4) .
Passo 6
Com o vetor normal n = (0, -1, -4) e o ponto A = (7, 2, -3) , usamos a forma geral da equação do plano:
0(x - 7) -1(y - 2) -4(z + 3) = 0
Simplificando:
-y - 4z - 10 = 0
Essa é a equação cartesiana do plano.
Passo 7
Agora, vamos verificar se o ponto médio de AB pertence ao plano. Primeiro, encontramos o ponto médio M de AB :
M = ( 7 + 52, 2 + 62, -3 + (-4)2 ) = (6, 4, -3.5)
Substituímos as coordenadas de M na equação do plano:
-4 - 4(-3.5) - 10 = -4 + 14 - 10 = 0
Como a equação se mantém verdadeira, o ponto médio M pertence ao plano.