Escreva a equação reduzida da elipse, dados
os focos (0, pm 2 raiz3), L=2, L como no item anterior;

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma elipse com focos em (0,pm2raiz3) e cuja soma das distâncias de um ponto genérico (x,y) a esses focos é o mesmo constante 2L (conforme definido no item anterior). Queremos escrever a forma reduzida da equação dessa elipse.
O que vamos usar:
  • Nas elipses, se a soma das distâncias aos focos vale 2L, então o semi-eixo maior é a=L.
  • A distância do centro a cada foco é c.
  • O semi-eixo menor satisfaz b^2 = a^2 - c^2.
  • Como os focos estão ao longo do eixo y, a forma reduzida é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1

Passo 2

Determinar a e c
Pela definição, a soma das distâncias é 2L, logo
a = L
Dos focos (0,pm2raiz3), a distância do centro (0,0) a cada foco é
c = 2raiz3

Passo 3

Calcular b
Usamos a relação fundamental da elipse
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo a=L e c=2raiz3, vem
b^2 = L^2 - l(2raiz3r)^2 = L^2 - 12

Passo 4

Escrever a forma reduzida
Como os focos estão sobre o eixo y, a elipse tem eixo maior vertical e a equação reduzida é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo a^2=L^2 e b^2=L^2-12, obtemos
x^2,L^2 - 12, ;+; y^2,L^2, ;=; 1

Resposta

boxedx^2L^2 - 12 ;+;y^2L^2 = 1

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