Mostre que se u, v são não-nulos, então
[
\operatorname{proj}{\vec{v}}\left(\operatorname{proj}{\vec{u}} \vec{v}\right)=\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v}){2}}{|\vec{u}|{2}|\vec{v}|^{2}} \vec{v}

Passo 1

A questão pede para mostrar que se vec u, vec v são não-nulos então projvec v(projvec uvec v)=(vec ucdotvec v)^2|vec u|^2|vec v|^2,vec v. Isso envolve projeções de vetores, então vamos usar a fórmula de projeção ortogonal e propriedades do produto escalar.

Passo 2

Recordando a fórmula de projeção de um vetor vec a sobre vec b:
projvec bvec a = vec acdotvec b|vec b|^2,vec b
Vamos primeiro achar projvec uvec v.

Passo 3

Usando a fórmula acima, obtemos:
projvec uvec v = vec vcdotvec u|vec u|^2,vec u
Chamando essa projeção de vec w, isto é, vec w = projvec uvec v, calculamos agora o produto escalar vec wcdotvec v.

Passo 4

O produto escalar fica:
vec wcdotvec v = l(vec vcdotvec u|vec u|^2,vec ur)cdotvec v = vec vcdotvec u|vec u|^2(vec ucdotvec v) = (vec ucdotvec v)^2|vec u|^2

Passo 5

Por fim, aplicamos a projeção de vec w sobre vec v:
projvec vvec w = vec wcdotvec v|vec v|^2,vec v = (vec ucdotvec v)^2|vec u|^2|vec v|^2,vec v = (vec ucdotvec v)^2|vec u|^2,|vec v|^2,vec v

Resposta

projvec v(projvec uvec v)=(vec ucdotvec v)^2|vec u|^2|vec v|^2,vec v

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