Mostre que se
são não-nulos, então
[
\operatorname{proj}{\vec{v}}\left(\operatorname{proj}{\vec{u}} \vec{v}\right)=\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v}){2}}{|\vec{u}|{2}|\vec{v}|^{2}} \vec{v}
\operatorname{proj}{\vec{v}}\left(\operatorname{proj}{\vec{u}} \vec{v}\right)=\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v}){2}}{|\vec{u}|{2}|\vec{v}|^{2}} \vec{v}
Passo 1
A questão pede para mostrar que se
são não-nulos então
. Isso envolve projeções de vetores, então vamos usar a fórmula de projeção ortogonal e propriedades do produto escalar.
Passo 2
Recordando a fórmula de projeção de um vetor
sobre
:
Vamos primeiro achar
.
Passo 3
Usando a fórmula acima, obtemos:
Chamando essa projeção de
, isto é,
, calculamos agora o produto escalar
.
Passo 4
O produto escalar fica:
Passo 5
Por fim, aplicamos a projeção de
sobre
: