Escreva a equação reduzida da parábola 4 x+4 y-x^2-8=0. A seguir, parametrize a curva que está sobre a parábola e tenha a orientação do ponto A=(0,2) para B=(2,1). Qual uma parametrização para o caminho contrário?

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a cônica dada pela equação 4x+4y−x²−8=0, identificar que é uma parábola, e depois encontrar uma parametrização orientada de A=(0,2) para B=(2,1), além da parametrização do caminho inverso. Vamos usar completamento de quadrado e noções básicas de parametrização de curvas.

Passo 2

Reescrevendo a equação original e completando o quadrado em x:
– Começamos com
-x^2 + 4x + 4y - 8 = 0
– Multiplicando tudo por −1:
x^2 - 4x - 4y + 8 = 0
– Para completar o quadrado em x, adicionamos e subtraímos 4:
x^2 - 4x + 4 - 4 - 4y + 8 = 0
(x - 2)^2 - 4y + 4 = 0
Isolando y, obtemos
y = 1 + (x - 2)^24

Passo 3

Agora sabemos que é uma parábola com eixo vertical, vértice em (2,1). Para parametrizar de A para B, basta fazer x = t de modo que em t=0 tenhamos A e em t=2 tenhamos B. Logo:
– Definimos
x(t) = t,
y(t) = 1 + (t - 2)^24,
de t = 0 até t = 2. Assim em t=0 temos (0,2) e em t=2 temos (2,1).

Passo 4

Para o caminho contrário, basta inverter o sentido do parâmetro. Uma opção é usar s em [0,2] e definir s = 2 − t. Assim a parametrização inversa é
x(s) = 2 - s,
y(s) = 1 + s^24,
de s = 0 até s = 2, indo de B para A.

Resposta

A forma reduzida da parábola é
y = 1 + (x - 2)^24
Uma parametrização de A=(0,2) para B=(2,1) é
r(t) = l(t,;1 + tfrac(t-2)^24r), tin[0,2]
Para o caminho inverso, podemos usar
widetilde r(s) = l(2 - s,;1 + tfracs^24r), sin[0,2]

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