Escreva a equação reduzida da parábola
. A seguir, parametrize a curva que está sobre a parábola e tenha a orientação do ponto
para
. Qual uma parametrização para o caminho contrário?
Passo 1
O enunciado pede para reduzir a cônica dada pela equação 4x+4y−x²−8=0, identificar que é uma parábola, e depois encontrar uma parametrização orientada de A=(0,2) para B=(2,1), além da parametrização do caminho inverso. Vamos usar completamento de quadrado e noções básicas de parametrização de curvas.
Passo 2
Reescrevendo a equação original e completando o quadrado em x:
– Começamos com
– Começamos com
– Multiplicando tudo por −1:
– Para completar o quadrado em x, adicionamos e subtraímos 4:
Isolando y, obtemos
Passo 3
Agora sabemos que é uma parábola com eixo vertical, vértice em (2,1). Para parametrizar de A para B, basta fazer x = t de modo que em t=0 tenhamos A e em t=2 tenhamos B. Logo:
– Definimos
– Definimos
de t = 0 até t = 2. Assim em t=0 temos (0,2) e em t=2 temos (2,1).
Passo 4
Para o caminho contrário, basta inverter o sentido do parâmetro. Uma opção é usar s em [0,2] e definir s = 2 − t. Assim a parametrização inversa é
de s = 0 até s = 2, indo de B para A.
Resposta
A forma reduzida da parábola é
Uma parametrização de A=(0,2) para B=(2,1) é
Para o caminho inverso, podemos usar