Escreva uma equação para a reta que passa por P que é:
(i) paralela a r
(ii) perpendicular a r
P=(-2,2), r: 2 x+y=4

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de geometria analítica. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto P = (-2, 2) . A gente vai fazer isso de duas formas: (i) uma reta paralela à reta r que é 2x + y = 4 , e (ii) uma reta perpendicular a r . Para resolver, vamos precisar entender como identificar o coeficiente angular das retas e usar as propriedades de retas paralelas e perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta r : 2x + y = 4 . Para achar o coeficiente angular, que é basicamente a inclinação da reta, a gente coloca a equação na forma y = mx + b , onde m é o coeficiente angular.
Rearranjando a equação de r :
y = -2x + 4
Então, o coeficiente angular de r é m = -2 .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação da reta paralela a r que passa pelo ponto P = (-2, 2) , a gente sabe que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. Então, a nova reta também terá m = -2 .
Usamos a fórmula da equação da reta com coeficiente angular m e passando pelo ponto (x0, y0) :
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = -2 e P = (-2, 2) :
y - 2 = -2(x - (-2)) y - 2 = -2(x + 2)
Distribuindo o -2:
y - 2 = -2x - 4
Somando 2 em ambos os lados:
y = -2x - 2

Passo 4

Para encontrar a equação da reta perpendicular a r que passa pelo ponto P = (-2, 2) , precisamos achar o coeficiente angular da reta perpendicular. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos um do outro.
Como m da reta r é -2, o coeficiente angular da reta perpendicular será:
mperp = -1m = -1-2 = 12

Passo 5

Usando novamente a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = 12 e P = (-2, 2) :
y - 2 = 12(x - (-2)) y - 2 = 12(x + 2)
Distribuindo o 12 :
y - 2 = 12x + 1
Somando 2 em ambos os lados:
y = 12x + 3

Resposta

As equações das retas são:
(i) Paralela a r :
y = -2x - 2
(ii) Perpendicular a r :
y = 12x + 3

Exercícios relacionados