Marque com V (Verdadeiro) ou F(Falso). Justifique
( ) Se
e
é um círculo fechado, então
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justificar. A afirmação diz:
Se
e
é um círculo fechado, então
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e teoremas de cálculo vetorial, como o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular a integral de linha
. Essa integral mede o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao redor do caminho fechado
.
Para saber se essa integral é zero, uma boa estratégia é verificar se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Campos conservativos têm a propriedade de que a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Outra maneira de verificar se um campo é conservativo é calcular seu rotacional (
). Se o rotacional for zero em toda a região do campo, então o campo é conservativo, e a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado será zero.
Então, vamos calcular o rotacional de
:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos:
Isso significa que o campo
é conservativo.
Passo 6
Já que
é conservativo, de acordo com as propriedades dos campos conservativos, a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado
é zero:
Resposta
V (Verdadeiro)