Marque com V (Verdadeiro) ou F(Falso). Justifique
( ) Se F=(2 x y^3 z, 3 x^2 y^2 z, x^2 y^3) e C é um círculo fechado, então
integralC F d r=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justificar. A afirmação diz:
Se F = (2xy^3z, 3x^2y^2z, x^2y^3) e C é um círculo fechado, então
ointC F cdot dr = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e teoremas de cálculo vetorial, como o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular a integral de linha ointC F cdot dr. Essa integral mede o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao redor do caminho fechado C.
Para saber se essa integral é zero, uma boa estratégia é verificar se o campo F é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, F = nabla phi. Campos conservativos têm a propriedade de que a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Outra maneira de verificar se um campo é conservativo é calcular seu rotacional ( nabla times F). Se o rotacional for zero em toda a região do campo, então o campo é conservativo, e a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado será zero.
Então, vamos calcular o rotacional de F:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente x:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (x^2y^3)partial y - partial (3x^2y^2z)partial z = 3x^2y^2 - 3x^2y^2 = 0
  1. Componente y:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (2xy^3z)partial z - partial (x^2y^3)partial x = 2xy^3 - 2xy^3 = 0
  1. Componente z:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (3x^2y^2z)partial x - partial (2xy^3z)partial y = 6xy^2z - 6xy^2z = 0

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos:
nabla times F = 0
Isso significa que o campo F é conservativo.

Passo 6

Já que F é conservativo, de acordo com as propriedades dos campos conservativos, a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado C é zero:
ointC F cdot dr = 0

Resposta

V (Verdadeiro)

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