Escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto dado.
y=3 x^2+2 x+1, x0=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à parábola dada pela função y = 3x^2 + 2x + 1 no ponto onde x0 = 2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y = 3x^2 + 2x + 1 . A derivada, representada por y' ou dydx , nos dá a taxa de variação da função em relação a x , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A regra básica para derivar é:
  • A derivada de x^n é n cdot x^n-1 .
Aplicando isso à nossa função:
y' = ddx(3x^2) + ddx(2x) + ddx(1) = 6x + 2 + 0 = 6x + 2

Passo 3

Agora que temos a derivada y' = 6x + 2 , vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto x0 = 2 . Basta substituir x = 2 na derivada:
y'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 14.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a coordenada y correspondente a x = 2 na função original para identificar o ponto de tangência completo. Substituindo x = 2 na função:
y = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 3(4) + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
Então, o ponto de tangência é (2, 17) .

Passo 5

Agora, usamos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde:
  • m é a inclinação da reta (que encontramos como 14),
  • (x1, y1) é o ponto de tangência (2, 17) .
Substituindo esses valores:
y - 17 = 14(x - 2)
Distribuindo o 14:
y - 17 = 14x - 28
Isolando y :
y = 14x - 28 + 17
y = 14x - 11

Resposta

A equação da reta tangente é y = 14x - 11 .

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