Escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à parábola dada pela função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada, representada por
ou
, nos dá a taxa de variação da função em relação a
, ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A regra básica para derivar é:
- A derivada de
é .
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Basta substituir
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 14.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a coordenada
correspondente a
na função original para identificar o ponto de tangência completo. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 5
Agora, usamos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação, que é:
Onde:
-
é a inclinação da reta (que encontramos como 14), -
é o ponto de tangência .
Substituindo esses valores:
Distribuindo o 14:
Isolando
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.