Escreva a equação de Schrodinger em três dimensões, considerando as duas formas de coordenadas a seguir:
Em coordenadas esféricas:
Explique o significado de cada termo presente nas equações e suas implicações físicas.
Em coordenadas esféricas:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente escrever a equação de Schrödinger em 3D usando coordenadas esféricas
e explicar o que cada termo significa e por que aparece ali. Isso é parte de Mecânica Quântica: você precisa saber o que é a equação de Schrödinger dependente do tempo, o operador Laplaciano e como esse Laplaciano fica em coordenadas esféricas. Vamos precisar também de um pouco de cálculo vetorial (derivadas parciais e mudança de variáveis).
Passo 2
Primeiro, lembramos da forma geral da equação de Schrödinger dependente do tempo em 3D (em coordenadas cartesianas):
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Aqui:
- $i$ é a unidade imaginária,
- $\hbar$ é a constante de Planck reduzida,
- $m$ é a massa da partícula,
- $\Psi$ é a função de onda,
- $\nabla^2$ é o Laplaciano (somatório de segundas derivadas),
- $V(\mathbf{r})$ é o potencial.
Passo 3
Agora a parte chave: reescrever o Laplaciano $\nabla^2$ em coordenadas esféricas
. Acontece que, em vez das derivadas $\partial^2/\partial x^2$, etc., usamos:
\
\
Isso vem do cálculo vetorial: o “tamanho” dos vetores unitários muda com
, daí surgem esses fatores de
e
.
Passo 4
Então, substituindo esse Laplaciano na equação de Schrödinger, obtemos:
\
\
Pronto, essa é a equação de Schrödinger dependente do tempo em coordenadas esféricas.
Passo 5
Vamos destrinchar o significado físico de cada parte:
-
iħ ∂Ψ/∂t:
- Dá a evolução temporal da função de onda; o “i” garante que a evolução seja unitária (probabilidade conservada).
-
–(ħ²/2m)∇²Ψ:
- Termo cinético. O Laplaciano mede a curvatura de Ψ; onde Ψ varia rápido no espaço, você tem energia cinética alta.
-
V(r,θ,φ)Ψ:
- Potencial. Se a partícula estiver num campo central (por ex. átomo de hidrogênio), V depende só de r. Esse termo modela forças como atração elétrica ou confinamento.
-
A forma esférica do Laplaciano:
- O pedaço com ∂/∂r descreve a “variação radial” da onda (como ela sobe/decai conforme você vai pra fora).
- O pedaço com ∂/∂θ e ∂/∂φ descreve a parte angular (como a onda muda de direção no “globo”).
Física geral: essa equação manda repetir muito o que a gente faz em 1D, mas agora o “espaço” é toda a região em volta de um ponto, muito útil pra potencial central (átomos, núcleos, etc.).
Resposta
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