Escreva a equação de Schrodinger em três dimensões, considerando as duas formas de coordenadas a seguir:
Em coordenadas esféricas: (r, theta, phi)
Explique o significado de cada termo presente nas equações e suas implicações físicas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente escrever a equação de Schrödinger em 3D usando coordenadas esféricas (r,theta,phi) e explicar o que cada termo significa e por que aparece ali. Isso é parte de Mecânica Quântica: você precisa saber o que é a equação de Schrödinger dependente do tempo, o operador Laplaciano e como esse Laplaciano fica em coordenadas esféricas. Vamos precisar também de um pouco de cálculo vetorial (derivadas parciais e mudança de variáveis).

Passo 2

Primeiro, lembramos da forma geral da equação de Schrödinger dependente do tempo em 3D (em coordenadas cartesianas):
\
Aqui:
  • $i$ é a unidade imaginária,
  • $\hbar$ é a constante de Planck reduzida,
  • $m$ é a massa da partícula,
  • $\Psi$ é a função de onda,
  • $\nabla^2$ é o Laplaciano (somatório de segundas derivadas),
  • $V(\mathbf{r})$ é o potencial.

Passo 3

Agora a parte chave: reescrever o Laplaciano $\nabla^2$ em coordenadas esféricas . Acontece que, em vez das derivadas $\partial^2/\partial x^2$, etc., usamos:
\
Isso vem do cálculo vetorial: o “tamanho” dos vetores unitários muda com , daí surgem esses fatores de e .

Passo 4

Então, substituindo esse Laplaciano na equação de Schrödinger, obtemos:
\
ihbar,partialPsi(r,theta,phi,t)partial t = -hbar^22m! [ 1r^2partialpartial rl(r^2partialPsipartial rr) +1r^2sinthetapartialpartialthetal(sintheta,partialPsipartialthetar) +1r^2sin^2thetapartial^2Psipartialphi^2 ] +V(r,theta,phi),Psi
Pronto, essa é a equação de Schrödinger dependente do tempo em coordenadas esféricas.

Passo 5

Vamos destrinchar o significado físico de cada parte:
  1. iħ ∂Ψ/∂t:
    • Dá a evolução temporal da função de onda; o “i” garante que a evolução seja unitária (probabilidade conservada).
  2. –(ħ²/2m)∇²Ψ:
    • Termo cinético. O Laplaciano mede a curvatura de Ψ; onde Ψ varia rápido no espaço, você tem energia cinética alta.
  3. V(r,θ,φ)Ψ:
    • Potencial. Se a partícula estiver num campo central (por ex. átomo de hidrogênio), V depende só de r. Esse termo modela forças como atração elétrica ou confinamento.
  4. A forma esférica do Laplaciano:
    • O pedaço com ∂/∂r descreve a “variação radial” da onda (como ela sobe/decai conforme você vai pra fora).
    • O pedaço com ∂/∂θ e ∂/∂φ descreve a parte angular (como a onda muda de direção no “globo”).
Física geral: essa equação manda repetir muito o que a gente faz em 1D, mas agora o “espaço” é toda a região em volta de um ponto, muito útil pra potencial central (átomos, núcleos, etc.).

Resposta

\
boxed ihbar,partialPsi(r,theta,phi,t)partial t = -hbar^22m g[ 1r^2partialpartial rl(r^2partialPsipartial rr) +1r^2sinthetapartialpartialthetal(sintheta,partialPsipartialthetar) +1r^2sin^2thetapartial^2Psipartialphi^2 g] +V(r,theta,phi),Psi

Exercícios relacionados