Escreva uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação normal para os planos pi abaixo:
pi contém P=(1,0,-1) e a reta r: x-12=y3=2-z

Passo 1

O enunciado pede para achar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação normal do plano π que contém o ponto P=(1,0,-1) e a reta r dada por (x−1)/2 = y/3 = 2−z. Vamos usar conceitos de geometria analítica de planos: vetor diretor da reta, vetor PQ e produto vetorial para achar a normal.

Passo 2

Primeiro, parametrize a reta r. Se chamamos t = (x−1)/2 = y/3 = 2−z, então:
x = 1 + 2t,
y = 3t,
z = 2 - t
Um ponto na reta é Q = (1,0,2) (para t=0) e seu vetor diretor é v = (2,3,-1).

Passo 3

Como o plano deve conter P e toda reta r, ele contém os vetores v = (2,3,-1) e o vetor PQ = Q − P = (1−1,0−0,2−(−1)) = (0,0,3). Esses dois vetores geram o plano.

Passo 4

A equação vetorial do plano fica então
r( s, t ) = (1,0,-1) + s,(2,3,-1) + t,(0,0,3),
com s,t ∈ ℝ.

Passo 5

Das componentes do vetor acima extraímos as equações paramétricas:
x = 1 + 2s,
y = 3s,
z = -1 - s + 3t

Passo 6

Para a equação normal precisamos de um vetor normal n ao plano. Calculamos
n = v times PQ = (2,3,-1) times (0,0,3) = (9,-6,0)
Podemos simplificar para n = (3,-2,0).

Passo 7

Usando n e o ponto P na forma n·((x,y,z) − P) = 0, temos:
3(x-1) - 2(y-0) + 0(z+1) = 0
que simplifica para
3x - 2y - 3 = 0

Resposta

Equação vetorial: r(s,t) = (1,0,-1) + s,(2,3,-1) + t,(0,0,3),Equações paramétricas: x = 1 + 2s, y = 3s, z = -1 - s + 3t,com s,t ∈ ℝ.Equação normal (escalar): 3x - 2y - 3 = 0

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