Escreva uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação normal para os planos
abaixo:
contém
e a reta
Passo 1
O enunciado pede para achar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação normal do plano π que contém o ponto P=(1,0,-1) e a reta r dada por (x−1)/2 = y/3 = 2−z. Vamos usar conceitos de geometria analítica de planos: vetor diretor da reta, vetor PQ e produto vetorial para achar a normal.
Passo 2
Primeiro, parametrize a reta r. Se chamamos t = (x−1)/2 = y/3 = 2−z, então:
Um ponto na reta é Q = (1,0,2) (para t=0) e seu vetor diretor é v = (2,3,-1).
Passo 3
Como o plano deve conter P e toda reta r, ele contém os vetores v = (2,3,-1) e o vetor PQ = Q − P = (1−1,0−0,2−(−1)) = (0,0,3). Esses dois vetores geram o plano.
Passo 4
A equação vetorial do plano fica então
com s,t ∈ ℝ.
Passo 5
Das componentes do vetor acima extraímos as equações paramétricas:
Passo 6
Para a equação normal precisamos de um vetor normal n ao plano. Calculamos
Podemos simplificar para n = (3,-2,0).
Passo 7
Usando n e o ponto P na forma n·((x,y,z) − P) = 0, temos:
que simplifica para
Resposta
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
com s,t ∈ ℝ.Equação normal (escalar):