Escreva uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação normal para os planos abaixo: contém os pontos e
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação normal de um plano π que contenha os pontos P=(1,0,2), Q=(-1,1,3) e R=(3,-1,1). O conteúdo envolve como determinar se três pontos definem um plano único usando vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Calculemos dois vetores diretores do suposto plano: e vec v=PR=R-P=(3-1,,-1-0,,1-2)=(2,-1,-1).
Passo 3
Para verificar se esses vetores definem um plano único, calculamos o produto vetorial vec n=vec utimesvec v que deveria ser o vetor normal ao plano. Montando o determinante:
vec n = i & j & k -2 & 1 & 1 2 & -1 & -1 = (1cdot(-1)-1cdot(-1)),i -(-2cdot(-1)-1cdot2),j +(-2cdot(-1)-1cdot2),k = (0,0,0)
Passo 4
Como vec n=(0,0,0), isso indica que vec u e vec v são linearmente dependentes, ou seja, os três pontos são colineares.
Passo 5
Quando três pontos são colineares, não há um plano único que os contenha—na verdade, existem infinitos planos passando por essa reta. Portanto não é possível escrever uma única equação vetorial, nem um sistema paramétrico ou normal exclusivos para o plano π.
Resposta
Os pontos P, Q e R são colineares (vec u e vec v são dependentes), logo não existe um plano único que os contenha. Portanto não é possível determinar exclusivamente a equação vetorial, as equações paramétricas nem a equação normal de π.