Verifique se as equações abaixo determinam o mesmo plano:
((x, y, z)=(1,2,1)+λ(1,-1,2)+μ(-1 / 2,2 / 3,-1) e(x, y, z)=(1,2,1)+λ(-1,1,2)+μ(-3,4,-6))

Passo 1

Neste exercício temos duas representações paramétricas de planos e queremos verificar se elas definem o mesmo plano. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal de cada plano.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores do primeiro plano: v1 = (1,-1,2) e w1 = (-tfrac12,tfrac23,-1), e do segundo plano: v2 = (-1,1,2) e w2 = (-3,4,-6).

Passo 3

Lembrando que o vetor normal a um plano dado por vetores diretores v e w é n = v times w, calculamos para o primeiro plano:
n1 = v1 times w1 = (v1yw1z - v1zw1y,; v1zw1x - v1xw1z,; v1xw1y - v1yw1x) = (-tfrac13,;0,;tfrac16)
Podemos multiplicar n1 por 6 para simplificar:
n1 = (-2,;0,;1)

Passo 4

Agora calculamos o normal do segundo plano usando a mesma fórmula:
n2 = v2 times w2 = (1cdot(-6) - 2cdot4,;2cdot(-3) - (-1)cdot(-6),;(-1)cdot4 - 1cdot(-3)) = (-14,;-12,;-1)

Passo 5

Para que os planos coincidam, seus normais devem ser proporcionais, ou seja, deve existir k tal que n2 = k,n1. Comparando componentes vemos que não há k que satisfaça todas as igualdades simultaneamente, então os normais não são paralelos.

Passo 6

Como as normais não são paralelas, os planos são distintos, mesmo partindo do mesmo ponto inicial.

Resposta

Não, as duas equações definem planos diferentes.

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