Verifique se as equações abaixo determinam o mesmo plano:
((x, y, z)=(1,2,1)+λ(1,-1,2)+μ(-1 / 2,2 / 3,-1) e(x, y, z)=(1,2,1)+λ(-1,1,2)+μ(-3,4,-6))
((x, y, z)=(1,2,1)+λ(1,-1,2)+μ(-1 / 2,2 / 3,-1) e(x, y, z)=(1,2,1)+λ(-1,1,2)+μ(-3,4,-6))
Passo 1
Neste exercício temos duas representações paramétricas de planos e queremos verificar se elas definem o mesmo plano. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar produto vetorial para obter o vetor normal de cada plano.
Passo 2
Identificamos os vetores diretores do primeiro plano:
e
, e do segundo plano:
e
.
Passo 3
Lembrando que o vetor normal a um plano dado por vetores diretores
e
é
, calculamos para o primeiro plano:
Podemos multiplicar
por 6 para simplificar:
Passo 4
Agora calculamos o normal do segundo plano usando a mesma fórmula:
Passo 5
Para que os planos coincidam, seus normais devem ser proporcionais, ou seja, deve existir
tal que
. Comparando componentes vemos que não há
que satisfaça todas as igualdades simultaneamente, então os normais não são paralelos.
Passo 6
Como as normais não são paralelas, os planos são distintos, mesmo partindo do mesmo ponto inicial.
Resposta
Não, as duas equações definem planos diferentes.