Os problemas 26 e 27 se referem aos seguintes subespaços do
\mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & \mathrm{S}_{1}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{~b}, \mathrm{c}, \mathrm{~d}) / \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\} \mathrm{e} \\\ & \mathrm{~S}_{2}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{~b}, \mathrm{c}, \mathrm{~d}) / \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}=0 \mathrm{e} \mathrm{c}=3 \mathrm{~d}\} \end{aligned}
Determinar dim
S_{1} e uma base de
S_{1}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S_{1} = \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\mid a+b+c=0\}
e pede a dimensão de S_{1} e uma base. O conteúdo usado será: escrever um vetor genérico de S_{1}, isolar a variável dependente e obter uma parametrização que evidencie o número de graus de liberdade (dimensão) e uma coleção de vetores geradores.

Passo 2

Como a+b+c=0, temos
a = -\,b - c.
Substituindo num vetor genérico (a,b,c,d), obtemos
(a,b,c,d) = (-b-c,\;b,\;c,\;d) = b\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Os parâmetros livres são b,c,d, logo há três graus de liberdade e \dim S_{1}=3. Além disso, os vetores
v_{1} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{2} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{3} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram todo S_{1}, então formam uma base.

Resposta

\dim S_{1}=3
Uma base de S_{1} é
\left\{ \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \right\}.

Exercícios relacionados