Escreva as equações abaixo na forma reduzida, identifique a superficie quádica representada e, em seguida, determine as curvas (cônicas) resultante da interseção da superfície com cada um dos planos dados por x=1, y=1 e z=0.
x^{2}-y^{2}+z^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádica
x^{2}-y^{2}+z^{2}=4
e pede (1) escrever na forma reduzida, (2) identificar que tipo de superfície é, e (3) encontrar as curvas obtidas ao intersectar com os planos x=1, y=1 e z=0. Vamos usar a classificação de quádricas via forma canônica (dividindo tudo por 4) e depois substituir cada plano.

Passo 2

Para reduzir, dividimos por 4:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Aqui aparecem dois termos ao quadrado com sinal positivo x^{2}/4 e z^{2}/4 e um com sinal negativo y^{2}/4. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.

Passo 3

Interseção com o plano x=1. Substituindo x=1 em
1^{2}-y^{2}+z^{2}=4
vem
z^{2}-y^{2}=3.
Para ver em forma canônica, escrevemos
\frac{z^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1,
que é uma hipérbole no plano x=1, aberta ao longo do eixo z.

Passo 4

Interseção com o plano y=1. Substituindo y=1 em
x^{2}-1+z^{2}=4
temos
x^{2}+z^{2}=5.
Em forma canônica:
\frac{x^{2}}{5}+\frac{z^{2}}{5}=1,
que é uma circunferência de raio \sqrt{5} no plano y=1.

Passo 5

Interseção com o plano z=0. Substituindo z=0 em
x^{2}-y^{2}+0=4
obtemos
x^{2}-y^{2}=4.
Em forma canônica:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1,
que é uma hipérbole no plano z=0, aberta ao longo do eixo x.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}=1,
é um hiperbolóide de uma folha.
Interseções:
em x=1: \displaystyle \frac{z^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1 (hipérbole);
em y=1: \displaystyle \frac{x^{2}}{5}+\frac{z^{2}}{5}=1 (circunferência);
em z=0: \displaystyle \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1 (hipérbole).

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