Escreva as equações abaixo na forma reduzida, identifique a superficie quádica representada e, em seguida, determine as curvas (cônicas) resultante da interseção da superfície com cada um dos planos dados por
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádica
e pede (1) escrever na forma reduzida, (2) identificar que tipo de superfície é, e (3) encontrar as curvas obtidas ao intersectar com os planos
,
e
. Vamos usar a classificação de quádricas via forma canônica (dividindo tudo por 4) e depois substituir cada plano.
Passo 2
Para reduzir, dividimos por 4:
Aqui aparecem dois termos ao quadrado com sinal positivo
e
e um com sinal negativo
. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
em
vem
Para ver em forma canônica, escrevemos
que é uma hipérbole no plano
, aberta ao longo do eixo
.
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
em
temos
Em forma canônica:
que é uma circunferência de raio
no plano
.
Passo 5
Interseção com o plano
. Substituindo
em
obtemos
Em forma canônica:
que é uma hipérbole no plano
, aberta ao longo do eixo
.
Resposta
A forma reduzida é
é um hiperbolóide de uma folha.
Interseções:
em :
(hipérbole);
em :
(circunferência);
em :
(hipérbole).
Interseções:
em
em
em