(2.5 pontos) Determine as equações vetorial, paramétricas e cartesianas do plano \pi definido pelos pontos P_{0}=(1,0,1), P_{1}=(-1,2,3) e P_{2}=(3,1,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano \pi que passa pelos pontos P_{0}=(1,0,1), P_{1}=(-1,2,3) e P_{2}=(3,1,0). Para isso, vamos usar o conceito de representação paramétrica de plano (que precisa de um ponto base e dois vetores diretores) e depois obter a forma cartesiana por meio de um vetor normal gerado pelo produto vetorial.

Passo 2

Primeiro encontramos dois vetores diretores a partir de P_{0}:
\vec{v} = \overrightarrow{P_{0}P_{1}} = (-1-1,\;2-0,\;3-1) = (-2,\,2,\,2),
\vec{w} = \overrightarrow{P_{0}P_{2}} = (3-1,\;1-0,\;0-1) = (2,\,1,\,-1).
Esses vetores são independentes e ficam contidos no plano.

Passo 3

A equação vetorial do plano, usando P_{0} como ponto base e s,t\in\mathbb{R} como parâmetros, é
\vec{r} = (1,0,1) + s\,(-2,2,2) + t\,(2,1,-1).

Passo 4

Separando em componentes, obtemos as equações paramétricas:
x = 1 - 2s + 2t,
y = 0 + 2s + 1t,
z = 1 + 2s - 1t.

Passo 5

Para a forma cartesiana, calculamos o vetor normal \vec{n} = \vec{v}\times\vec{w}:
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 2 & 2\\\\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2-2)\,\mathbf{i} - (2-4)\,\mathbf{j} +(-2-4)\,\mathbf{k} = (-4,\,2,\,-6).
Podemos simplificar para \vec{n} = (2,-1,3) multiplicando por -\tfrac12. A equação cartesiana usa \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_{0}\bigr)=0:
2(x-1) -1(y-0) +3(z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x - y +3z -5 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec{r} = (1,0,1) + s\,(-2,2,2) + t\,(2,1,-1).
Equações paramétricas:
x = 1 - 2s + 2t,\quad y = 2s + t,\quad z = 1 + 2s - t.
Equação cartesiana:
2x - y +3z = 5.

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