Reduza as equaçōes a seguir à forma padrão completando quadrados nas variáveis x, y e z. Em seguida, identifique a superfície quádica e determine a curva de interseçāo com o plano indicado.
2 x^{2}-3 y^{2}-2 z^{2}-8 x+6 y-12 z-21=0, com o plano \pi: y=0.

Passo 1

O enunciado dá a quádica
2x^{2} -3y^{2} -2z^{2} -8x +6y -12z -21 = 0
e pede para completarmos quadrados em x, y e z, identificar a superfície e depois achar sua interseção com o plano \pi\colon y=0.

Passo 2

Agrupando e completando o quadrado em x:
2x^{2}-8x = 2\bigl(x^{2}-4x\bigr) = 2\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) = 2(x-2)^{2} -8.

Passo 3

Em y:
-3y^{2}+6y = -3\bigl(y^{2}-2y\bigr) = -3\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = -3(y-1)^{2} +3.

Passo 4

Em z:
-2z^{2}-12z = -2\bigl(z^{2}+6z\bigr) = -2\bigl((z+3)^{2}-9\bigr) = -2(z+3)^{2} +18.

Passo 5

Substituindo tudo de volta:
2(x-2)^{2} -3(y-1)^{2} -2(z+3)^{2} \;+\;(-8+3+18-21) \;=\;0.
Como -8+3+18-21=-8, vem
2(x-2)^{2} -3(y-1)^{2} -2(z+3)^{2} -8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-2)^{2} -3(y-1)^{2} -2(z+3)^{2} = 8.

Passo 6

Dividindo por 8 para a forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{4} \;-\;\frac{(y-1)^{2}}{8/3}\;-\;\frac{(z+3)^{2}}{4} \;=\;1.
É um hiperbolóide de duas folhas (um sinal positivo e dois negativos) centrado em (2,1,-3) e com eixo principal paralelo ao eixo Ox.

Passo 7

Agora intersectamos com \pi\colon y=0. Na forma completada, basta pôr y=0:
2(x-2)^{2} -3(0-1)^{2} -2(z+3)^{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-2)^{2} -3 -2(z+3)^{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-2)^{2} -2(z+3)^{2} = 11.
Dividindo por 11:
\frac{(x-2)^{2}}{11/2} \;-\;\frac{(z+3)^{2}}{11/2} \;=\;1,
que é um hipérbole no plano \pi, centrado em (2,0,-3) e com eixos paralelos a Ox e Oz.

Resposta

A superfície quádica é um hiperbolóide de duas folhas, centrado em (2,1,-3), com equação na forma padrão
\frac{(x-2)^{2}}{4} \;-\;\frac{(y-1)^{2}}{8/3}\;-\;\frac{(z+3)^{2}}{4} = 1.
A interseção com o plano \pi\colon y=0 é o hipérbole
\frac{(x-2)^{2}}{11/2} \;-\;\frac{(z+3)^{2}}{11/2} = 1
no próprio plano \pi.

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