(3 pontos) Para cada uma das equações a seguir:
a)
b)
(i) Elimine os termos lineares por meio de uma translação de eixos;
(ii) Elimine o termo misto por meio de uma rotação de eixos;
(iii) Escreva a equação na forma reduzida e identifique a cônica correspondente.
a)
b)
(i) Elimine os termos lineares por meio de uma translação de eixos;
(ii) Elimine o termo misto por meio de uma rotação de eixos;
(iii) Escreva a equação na forma reduzida e identifique a cônica correspondente.
Passo 1
O enunciado dá duas equações quadráticas de
e
e pede, para cada uma, (i) eliminar os termos lineares por translação de eixos, (ii) eliminar o termo
por rotação de eixos e (iii) escrever a forma reduzida e identificar a cônica. Vamos usar álgebra de matrizes para conicas: o centro vem de resolver
e a rotação vem da diagonalização da forma quadrática.
Passo 2
Para a equação (a)
calculamos o centro resolvendo
Dessa forma obtemos
. Fazendo a translação
a equação vira, após expansão e cancelamento dos termos lineares,
Passo 3
Ainda na (a), para eliminar o termo misto
usamos a rotação
onde
. Os autovalores da matriz
são
e
. Portanto, na base própria a equação fica
Passo 4
Dividindo por
e escrevendo em forma padrão:
Trata-se de uma elipse de semi-eixos
e
.
Passo 5
Para a equação (b)
determinamos o centro por
que dá
. Com a translação
a equação reduz-se a
Passo 6
Na (b) temos
, logo
e podemos tomar
. Os autovalores de
são
e
. Na base rotacionada a equação fica
Passo 7
Multiplicando por
e isolando em forma padrão:
É uma hipérbole com eixos alinhados a
e
.
Resposta
(a) Após a translação
e rotação de ângulo
com
, a forma reduzida é
uma elipse.
(b) Após a translação
e rotação de
, a forma reduzida é
uma hipérbole.