(3 pontos) Para cada uma das equações a seguir:
a) 9 x^{2}+4 x y+6 y^{2}+12 x+36 y+44=0
b) x^{2}-10 x y+y^{2}+x+y+1=0
(i) Elimine os termos lineares por meio de uma translação de eixos;
(ii) Elimine o termo misto por meio de uma rotação de eixos;
(iii) Escreva a equação na forma reduzida e identifique a cônica correspondente.

Passo 1

O enunciado dá duas equações quadráticas de x e y e pede, para cada uma, (i) eliminar os termos lineares por translação de eixos, (ii) eliminar o termo xy por rotação de eixos e (iii) escrever a forma reduzida e identificar a cônica. Vamos usar álgebra de matrizes para conicas: o centro vem de resolver \nabla F=0 e a rotação vem da diagonalização da forma quadrática.

Passo 2

Para a equação (a)
9x^{2}+4xy+6y^{2}+12x+36y+44=0
calculamos o centro resolvendo
\frac{\partial F}{\partial x}=18x+4y+12=0,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=4x+12y+36=0.
Dessa forma obtemos (x_{0},y_{0})=(0,-3). Fazendo a translação
x=X+0,\quad y=Y-3
a equação vira, após expansão e cancelamento dos termos lineares,
9X^{2}+4XY+6Y^{2}-10=0.

Passo 3

Ainda na (a), para eliminar o termo misto XY usamos a rotação
X=u\cos\theta - v\sin\theta,\quad Y=u\sin\theta + v\cos\theta,
onde \tan 2\theta=\frac{4}{9-6}=\frac{4}{3}. Os autovalores da matriz \begin{pmatrix}9&2\\\ 2&6\end{pmatrix} são \lambda_{1}=10 e \lambda_{2}=5. Portanto, na base própria a equação fica
10\,u^{2}+5\,v^{2}-10=0.

Passo 4

Dividindo por 10 e escrevendo em forma padrão:
\frac{u^{2}}{1}+\frac{v^{2}}{2}=1.
Trata-se de uma elipse de semi-eixos a=1 e b=\sqrt{2}.

Passo 5

Para a equação (b)
x^{2}-10xy+y^{2}+x+y+1=0
determinamos o centro por
2x-10y+1=0,\quad -10x+2y+1=0,
que dá (x_{0},y_{0})=(\tfrac18,\tfrac18). Com a translação
x=X+\tfrac18,\quad y=Y+\tfrac18
a equação reduz-se a
X^{2}-10XY+Y^{2}+\tfrac{9}{8}=0.

Passo 6

Na (b) temos \tan2\theta=\frac{-10}{1-1}=\infty, logo 2\theta=-\tfrac{\pi}{2} e podemos tomar \theta=\tfrac{\pi}{4}. Os autovalores de \begin{pmatrix}1&-5\\\ -5&1\end{pmatrix} são \lambda_{1}=6 e \lambda_{2}=-4. Na base rotacionada a equação fica
6\,u^{2}-4\,v^{2}+\tfrac{9}{8}=0.

Passo 7

Multiplicando por 8 e isolando em forma padrão:
48\,u^{2}-32\,v^{2}+9=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{\tfrac{9}{32}}-\frac{u^{2}}{\tfrac{3}{16}}=1.
É uma hipérbole com eixos alinhados a u e v.

Resposta

(a) Após a translação (x,y)=(X,Y-3) e rotação de ângulo \theta com \tan2\theta=4/3, a forma reduzida é
\frac{u^{2}}{1}+\frac{v^{2}}{2}=1,
uma elipse.
(b) Após a translação (x,y)=(X+\tfrac18,Y+\tfrac18) e rotação de \theta=\tfrac{\pi}{4}, a forma reduzida é
\frac{v^{2}}{\tfrac{9}{32}}-\frac{u^{2}}{\tfrac{3}{16}}=1,
uma hipérbole.

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