(a) Escreva as equaçōes de autovalor para L^2, S^2, J^2, Lz, Sz e Jz (0.5 ptos).
(b) Qual é o valor esperado de L^2 e de Lz ( 0.5 ptos). © O Berilio ( Be ) tem 4 elétrons, faça a configuração eletronica. Posso realizar experimentos de Stern-Gerlach usando esses átomos? Explique ( 0.5 ptos).
(d) Por outro lado, um campo magnético pode gerar efeito Zeeman nesses átomos de Be? Explique ( 0.5 ptos). (e) O Boro (B) tem 5 elétrons, faça a configuração eletrônica. Calcule os possiveis mj. Os elétrons de valência para um gás de átomos de B, podem ocupar todos esses mj ? Explique ( 0.5 ptos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que a gente precisa sacar pra resolver:
  1. Ele quer as equações de autovalor de L², S², J², L_z, S_z e J_z.
  2. Depois o valor esperado de L² e L_z.
  3. Configuração eletrônica do Berílio (Be) e se dá pra fazer Stern–Gerlach com ele.
  4. Se dá pra ter efeito Zeeman em Be.
  5. Configuração eletrônica do Boro (B), calcular os possíveis m_j e dizer se, num gás de átomos de B, os elétrons de valência podem ocupar todos esses m_j.
Conteúdo: mecânica quântica de momento angular (autovalores e valores esperados), configuração eletrônica de átomos, experimento de Stern–Gerlach e efeito Zeeman. Vamos destrinchar cada pedacinho, sem pular etapa nenhuma.

Passo 2

(a) Equações de autovalor – esse é o cascadão padrão da QM de momento angular:
  • Para órbital:
L^2;l|l,,mlrrang<= ;=;hbar^2,l(l+1);l|l,,mlrrang<=
Lz;l|l,,mlrrang<= ;=;hbar,ml;l|l,,mlrrang<=
  • Para spin:
S^2;l|s,,msrrang<= ;=;hbar^2,s(s+1);l|s,,msrrang<=
Sz;l|s,,msrrang<= ;=;hbar,ms;l|s,,msrrang<=
  • Para momento total J^2;l|j,,mjrrang<= ;=;hbar^2,j(j+1);l|j,,mjrrang<= :
Jz;l|j,,mjrrang<= ;=;hbar,mj;l|j,,mjrrang<=

Passo 3

(b) Valor esperado em um estado lang<= L^2rang<= ;=;hbar^2,l(l+1) , lang<= Lzrang<= ;=;hbar,ml :
É só usar o resultado do autovalor, porque se o sistema está num autostado, o valor esperado coincide com o próprio autovalor.

Passo 4

© Berílio (Be), Z=4 → elétrons: 1s² 2s². Todos emparelhados, logo
– L_total = 0 (somatório de m_l zero)
– S_total = 0 (spin emparelhado)
– J = L+S = 0.
Experimento de Stern–Gerlach separa estados com momento magnético total ≠0. Aqui J=0 → momento magnético total zero → NÃO acontece separação de feixe.

Passo 5

(d) Efeito Zeeman é divisão de níveis por interação , ou seja, depende de J≠0. Como em Be no estado fundamental J=0, não há subníveis para separar ou deslocar; não existe “splitting” Zeeman clássico.

Passo 6

(e) Boro (B), Z=5 → configuração 1s² 2s² 2p¹. O elétron de valência é um p (l=1) com spin s=½. Pela adição de momento angular:
j = l ± s → j = 1 + ½ = 3/2 ou j = 1 – ½ = 1/2.
Para cada j, os possíveis m_j vão de –j a +j em saltos de 1:
  • Para j=3/2: m_j = –3/2, –1/2, +1/2, +3/2
  • Para j=1/2: m_j = –1/2, +1/2
    Num gás de átomos de B você tem MUITOS átomos, cada um pode ocupar qualquer desses estados de m_j, então sim, no conjunto eles podem preencher todas essas posições (sujeito a Pauli dentro de cada átomo, mas como só há um elétron de valência, não há disputa interna).

Resposta

(a)
L²|l,m_l⟩=ℏ²l(l+1)|l,m_l⟩;
L_z|l,m_l⟩=ℏm_l|l,m_l⟩;
S²|s,m_s⟩=ℏ²s(s+1)|s,m_s⟩;
S_z|s,m_s⟩=ℏm_s|s,m_s⟩;
J²|j,m_j⟩=ℏ²j(j+1)|j,m_j⟩;
J_z|j,m_j⟩=ℏm_j|j,m_j⟩.
(b) ⟨L²⟩=ℏ²l(l+1), ⟨L_z⟩=ℏm_l.
© Be: 1s²2s² ⇒ L=S=J=0 ⇒ não separa em Stern–Gerlach.
(d) Como J=0, não há efeito Zeeman (nenhum splitting).
(e) B: 1s²2s²2p¹ ⇒ l=1, s=½ ⇒ j=3/2 ou 1/2;
m_j ∈ {–3/2,–1/2,1/2,3/2} ∪ {–1/2,1/2}.
Num gás, os átomos podem ocupar todos esses m_j distribuídos entre si.

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