Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que a gente precisa sacar pra resolver:
Ele quer as equações de autovalor de L², S², J², L_z, S_z e J_z.
Depois o valor esperado de L² e L_z.
Configuração eletrônica do Berílio (Be) e se dá pra fazer Stern–Gerlach com ele.
Se dá pra ter efeito Zeeman em Be.
Configuração eletrônica do Boro (B), calcular os possíveis m_j e dizer se, num gás de átomos de B, os elétrons de valência podem ocupar todos esses m_j.
Conteúdo: mecânica quântica de momento angular (autovalores e valores esperados), configuração eletrônica de átomos, experimento de Stern–Gerlach e efeito Zeeman. Vamos destrinchar cada pedacinho, sem pular etapa nenhuma.
Passo 2
(a) Equações de autovalor – esse é o cascadão padrão da QM de momento angular:
(d) Efeito Zeeman é divisão de níveis por interação , ou seja, depende de J≠0. Como em Be no estado fundamental J=0, não há subníveis para separar ou deslocar; não existe “splitting” Zeeman clássico.
Passo 6
(e) Boro (B), Z=5 → configuração 1s² 2s² 2p¹. O elétron de valência é um p (l=1) com spin s=½. Pela adição de momento angular:
j = l ± s → j = 1 + ½ = 3/2 ou j = 1 – ½ = 1/2.
Para cada j, os possíveis m_j vão de –j a +j em saltos de 1:
Para j=3/2: m_j = –3/2, –1/2, +1/2, +3/2
Para j=1/2: m_j = –1/2, +1/2
Num gás de átomos de B você tem MUITOS átomos, cada um pode ocupar qualquer desses estados de m_j, então sim, no conjunto eles podem preencher todas essas posições (sujeito a Pauli dentro de cada átomo, mas como só há um elétron de valência, não há disputa interna).
(d) Como J=0, não há efeito Zeeman (nenhum splitting).
(e) B: 1s²2s²2p¹ ⇒ l=1, s=½ ⇒ j=3/2 ou 1/2;
m_j ∈ {–3/2,–1/2,1/2,3/2} ∪ {–1/2,1/2}.
Num gás, os átomos podem ocupar todos esses m_j distribuídos entre si.