Escreva as equações gerais dos planos a seguir:
Contém os vetores $\vec{u}=(1,-1,4)$ e $\vec{v}=(-1,0,3)$ e o ponto $P_{0}=(1,1,-5)$

O enunciado nos dá um plano em

\mathbb{R}^3

que contém os vetores

\vec{u}=(1,-1,4)

\vec{v}=(-1,0,3)

e passa pelo ponto

P_0=(1,1,-5)

. O conteúdo aqui é a equação geral de um plano, e vamos precisar obter o vetor normal por meio do produto vetorial.

Calculamos o vetor normal

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}

usando determinante:

\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 4 \\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-1)\cdot3 - 4\cdot0\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot3 - 4\cdot(-1)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot0 - (-1)\cdot(-1)\bigr) = (-3,\,-7,\,-1).

Usamos a forma ponto–normal do plano:

\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0

isto é,

-3(x-1)-7(y-1)-1\,(z+5)=0.

Expandindo e reorganizando:

-3x+3 -7y+7 -z -5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x -7y -z +5 = 0.

Multiplicando tudo por

-1

, obtemos a forma mais usual:

3x + 7y + z - 5 = 0.

3x + 7y + z - 5 = 0

Escreva as equações gerais dos planos a seguir: Contém os vetores \vec{u}=(1,-1,4) e \vec{v}=(-1,0,3) e o ponto P_{0}=(1,1,-5)