Escreva as equações gerais dos planos a seguir:
Passa pelos pontos $P_{0}=(-1,2,4), P_{1}=(1,7,-9)$ e $P_{2}=(0,1,5)$

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos

\,P_{0}=(-1,2,4)

\,P_{1}=(1,7,-9)

\,P_{2}=(0,1,5)

.
Para isso, vamos usar geometria vetorial: obter dois vetores diretores do plano, calcular seu produto vetorial para achar o vetor normal

\mathbf{n}

e, em seguida, usar a forma ponto–normal do plano.

Determinamos dois vetores que ficam no plano, subtraindo coordenadas de

P_{0}

\mathbf{v}_{1} = P_{1} - P_{0} = (1 - (-1),\,7 - 2,\,-9 - 4) = (2,\,5,\,-13),

\mathbf{v}_{2} = P_{2} - P_{0} = (0 - (-1),\,1 - 2,\,5 - 4) = (1,\,-1,\,1).

O vetor normal

\mathbf{n}=(a,b,c)

é dado pelo produto vetorial

\mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}

\mathbf{n} = \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 5 & -13\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-8,\,-15,\,-7).

Podemos multiplicar esse vetor por

-1

para simplificar, obtendo

\mathbf{n}=(8,\,15,\,7)

A forma ponto–normal do plano é

\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_{0}\bigr)=0.

Substituindo

\mathbf{n}=(8,15,7)

P_{0}=(-1,2,4)

, temos

8\,(x+1)+15\,(y-2)+7\,(z-4)=0.

Distribuindo e somando termos semelhantes:

8x+8 +15y-30 +7z-28 =0 \quad\Longrightarrow\quad 8x+15y+7z -50 =0.

8x + 15y + 7z - 50 = 0

Escreva as equações gerais dos planos a seguir: Passa pelos pontos P_{0}=(-1,2,4), P_{1}=(1,7,-9) e P_{2}=(0,1,5)