Escreva as equações gerais dos planos a seguir:
Passa pelos pontos $P_{0}=(1,-1,0), P_{1}=(-1,3,1)$ e $P_{2}=(1,1,-4)$

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos

P_{0}=(1,-1,0)

P_{1}=(-1,3,1)

P_{2}=(1,1,-4)

. O conteúdo é equação de plano em

\mathbb{R}^{3}

, que exige encontrar um vetor normal via produto vetorial de dois vetores diretores.

Definimos vetores diretores a partir de

P_{0}

\overrightarrow{P_{0}P_{1}} = (-1-1,\;3-(-1),\;1-0) = (-2,\;4,\;1)

\overrightarrow{P_{0}P_{2}} = (1-1,\;1-(-1),\;-4-0) = (0,\;2,\;-4)

O vetor normal

\mathbf{n}

ao plano é dado pelo produto vetorial

\mathbf{n} =\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times \overrightarrow{P_{0}P_{2}} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 4 & 1\\\\ 0 & 2 & -4 \end{vmatrix} =(-18,\,-8,\,-4).

Para simplificar, multiplicamos por

-\tfrac12

e obtemos

\mathbf{n} = (9,\;4,\;2).

Usamos a forma ponto–normal do plano:

\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(1,-1,0)\bigr)=0.

Substituindo

\mathbf{n}=(9,4,2)

e o ponto

P_{0}

, vem

9(x-1)+4(y+1)+2(z-0)=0

que se expande para

9x+4y+2z-5=0.

9x + 4y + 2z - 5 = 0

Escreva as equações gerais dos planos a seguir: Passa pelos pontos P_{0}=(1,-1,0), P_{1}=(-1,3,1) e P_{2}=(1,1,-4)