Escreva as equações paramétricas dos planos a seguir:
Passa pelos pontos $P_{0}=(-1,2,4), P_{1}=(1,7,-9)$ e $P_{2}=(0,1,5)$

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos

P_{0}=(-1,2,4)

,

P_{1}=(1,7,-9)

e

P_{2}=(0,1,5)

. O conteúdo envolve representação vetorial paramétrica de planos em

\mathbb{R}^3

usando vetores diretores obtidos pela diferença entre os pontos.

Passo 2

Calculamos vetores diretores:

\mathbf{v} = P_{1} - P_{0} = (1 - (-1),\,7 - 2,\,-9 - 4) = (2,\,5,\,-13),

\mathbf{w} = P_{2} - P_{0} = (0 - (-1),\,1 - 2,\,5 - 4) = (1,\,-1,\,1).

Então a forma vetorial paramétrica do plano é

\mathbf{r}(s,t) = (-1,2,4) + s\,(2,5,-13) + t\,(1,-1,1).

Passo 3

Separando em coordenadas, obtemos as equações paramétricas:

x(s,t) = -1 + 2s + t,

y(s,t) = 2 + 5s - t,

z(s,t) = 4 - 13s + t.

Resposta

\begin{cases} x = -1 + 2s + t,\\\ y = 2 + 5s - t,\\\ z = 4 - 13s + t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

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