Escreva as equações de Maxwell do eletromagnetismo e relacione a equação que inclui ou é equivalente a:
O campo eletrostático é conservativo.
O campo eletrostático é conservativo.
Passo 1
O exercício pede para a gente escrever as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo e, em especial, apontar qual delas implica (ou é equivalente a) “o campo eletrostático ser conservativo”. Estamos no conteúdo de eletromagnetismo, usando cálculo vetorial (divergente e rotacional). Para resolver, vamos lembrar as formas diferenciais de cada lei de Maxwell e explicar passo a passo os conceitos de divergente (fluxo) e rotacional (circulação).
Passo 2
Lei de Gauss para o campo elétrico
Essa lei diz que a divergência de 𝐄 está ligada à densidade de carga ρ:
Essa lei diz que a divergência de 𝐄 está ligada à densidade de carga ρ:
O que isso quer dizer? “Divergência” mede quanto campo sai de um ponto – se tiver carga positiva, sai mais campo; se tiver carga negativa, entra campo.
Lei de Gauss para o campo magnético
Aqui a divergência de 𝐁 é zero, porque não existem “monopólos magnéticos”:
Aqui a divergência de 𝐁 é zero, porque não existem “monopólos magnéticos”:
Ou seja, as linhas de campo magnético sempre fecham em si mesmas, não há fontes nem sumidouros.
Passo 3
Lei de Faraday da indução
Ela conecta o rotacional de 𝐄 à variação temporal de 𝐁:
Ela conecta o rotacional de 𝐄 à variação temporal de 𝐁:
Aqui “rotacional” mede a tendência do campo elétrico “dar voltas” ao redor de um ponto, ou seja, a circulação local de 𝐄.
No regime eletrostático (campo não muda no tempo), temos . Então a lei vira:
No regime eletrostático (campo não muda no tempo), temos
Isso significa que o campo elétrico não “fecha voltas”: ele é conservativo, pode ser obtido de um potencial escalar 𝐸=−∇ϕ.
Passo 4
Lei de Ampère–Maxwell
Por fim, a circulação do campo magnético vem da corrente elétrica 𝐉 e da mudança de 𝐄 no tempo:
Por fim, a circulação do campo magnético vem da corrente elétrica 𝐉 e da mudança de 𝐄 no tempo:
Isso explica como correntes e campos elétricos variáveis criam campo magnético.
Resposta
A equação de Maxwell que garante (ou é equivalente a) que o campo eletrostático seja conservativo é a Lei de Faraday no regime estático: