Escreva as equações de Maxwell do eletromagnetismo e relacione a equação que inclui ou é equivalente a:
O campo eletrostático é conservativo.

Passo 1

O exercício pede para a gente escrever as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo e, em especial, apontar qual delas implica (ou é equivalente a) “o campo eletrostático ser conservativo”. Estamos no conteúdo de eletromagnetismo, usando cálculo vetorial (divergente e rotacional). Para resolver, vamos lembrar as formas diferenciais de cada lei de Maxwell e explicar passo a passo os conceitos de divergente (fluxo) e rotacional (circulação).

Passo 2

Lei de Gauss para o campo elétrico
Essa lei diz que a divergência de 𝐄 está ligada à densidade de carga ρ:
nabla!cdotE ;=;rhovarepsilon0
O que isso quer dizer? “Divergência” mede quanto campo sai de um ponto – se tiver carga positiva, sai mais campo; se tiver carga negativa, entra campo.
Lei de Gauss para o campo magnético
Aqui a divergência de 𝐁 é zero, porque não existem “monopólos magnéticos”:
nabla!cdotB ;=;0
Ou seja, as linhas de campo magnético sempre fecham em si mesmas, não há fontes nem sumidouros.

Passo 3

Lei de Faraday da indução
Ela conecta o rotacional de 𝐄 à variação temporal de 𝐁:
nablatimesE ;=;-,partial Bpartial t
Aqui “rotacional” mede a tendência do campo elétrico “dar voltas” ao redor de um ponto, ou seja, a circulação local de 𝐄.
No regime eletrostático (campo não muda no tempo), temos nablatimesE=0 . Então a lei vira:
Isso significa que o campo elétrico não “fecha voltas”: ele é conservativo, pode ser obtido de um potencial escalar 𝐸=−∇ϕ.

Passo 4

Lei de Ampère–Maxwell
Por fim, a circulação do campo magnético vem da corrente elétrica 𝐉 e da mudança de 𝐄 no tempo:
nablatimesB ;=;mu0,J;+;mu0,varepsilon0,partial Epartial t
Isso explica como correntes e campos elétricos variáveis criam campo magnético.

Resposta

A equação de Maxwell que garante (ou é equivalente a) que o campo eletrostático seja conservativo é a Lei de Faraday no regime estático:
nablatimesE ;=;0

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