Escreva as equações de Maxwell do eletromagnetismo e relacione a equação que inclui ou é equivalente a:
A lei de Coulomb.
A lei de Coulomb.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente escrever as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo e mostrar qual delas “esconde” ou é equivalente à lei de Coulomb.
Matéria: eletromagnetismo (teoria de Maxwell) + cálculo vetorial (operador ∇, divergência, fluxo). Vamos precisar entender o que é divergência e como a simetria esférica leva à fórmula de Coulomb para uma carga pontual.
Matéria: eletromagnetismo (teoria de Maxwell) + cálculo vetorial (operador ∇, divergência, fluxo). Vamos precisar entender o que é divergência e como a simetria esférica leva à fórmula de Coulomb para uma carga pontual.
Passo 2
Primeiro, as equações de Maxwell em forma diferencial (e logo em forma integral, pra lembrar o esquema de fluxo):
-
Lei de Gauss (elétrica)
∇·𝐄 = ρ/ε₀
Integral: ∮ₛ 𝐄·d𝐀 = Q_int/ε₀ -
Lei de Gauss (magnetismo)
∇·𝐁 = 0
Integral: ∮ₛ 𝐁·d𝐀 = 0 -
Lei de Faraday
∇×𝐄 = –∂𝐁/∂t
Integral: ∮_C 𝐄·d𝐥 = – d/dt ∬_S 𝐁·d𝐀 -
Lei de Ampère–Maxwell
∇×𝐁 = μ₀𝐉 + μ₀ε₀ ∂𝐄/∂t
Integral: ∮_C 𝐁·d𝐥 = μ₀ I_int + μ₀ε₀ d/dt ∬_S 𝐄·d𝐀
Passo 3
Foca na Lei de Gauss elétrica (∇·𝐄 = ρ/ε₀).
• Teoria: ∇·𝐄 (divergência de 𝐄) mede o “quanto” de campo saindo de um ponto. Se você integrar essa divergência sobre um volume e usar o teorema da divergência, vira exatamente o fluxo de 𝐄 pela superfície que fecha esse volume.
• Então, cargas (ρ) são “fontes” de campo elétrico; quanto maior ρ, maior o fluxo de 𝐄.
• Teoria: ∇·𝐄 (divergência de 𝐄) mede o “quanto” de campo saindo de um ponto. Se você integrar essa divergência sobre um volume e usar o teorema da divergência, vira exatamente o fluxo de 𝐄 pela superfície que fecha esse volume.
• Então, cargas (ρ) são “fontes” de campo elétrico; quanto maior ρ, maior o fluxo de 𝐄.
Passo 4
Agora, deriva a lei de Coulomb a partir da Lei de Gauss elétrica para uma carga pontual Q no vácuo:
- Escolhe um volume esférico de raio r centrado na carga. Pela simetria, 𝐄 aponta radialmente e tem módulo E® constante em toda a esfera.
- Fluxo: ∮ₛ 𝐄·d𝐀 = E® · 4πr².
- A carga total dentro da esfera é Q, logo pela forma integral da Lei de Gauss:
E®·4πr² = Q/ε₀
⇒ E® = Q/(4πε₀r²). - Em vetor: 𝐄(𝐫) = (1/4πε₀)·Q/r² · r̂, que é exatamente a lei de Coulomb.
Passo 5
Concluindo: a Lei de Coulomb para uma carga pontual é um caso particular da Lei de Gauss (equação de Maxwell). Em linguagem de Maxwell, ela está toda dentro de
∇·𝐄 = ρ/ε₀
ou em forma integral
∮ₛ 𝐄·d𝐀 = Q_int/ε₀.
∇·𝐄 = ρ/ε₀
ou em forma integral
∮ₛ 𝐄·d𝐀 = Q_int/ε₀.
Resposta
A equação de Maxwell que inclui (ou é equivalente a) lei de Coulomb é a Lei de Gauss para o campo elétrico:
∇·𝐄 = ρ/ε₀
ou, em forma integral,
∮ₛ 𝐄·d𝐀 = Q_int/ε₀.
∇·𝐄 = ρ/ε₀
ou, em forma integral,
∮ₛ 𝐄·d𝐀 = Q_int/ε₀.