Escreva as equações paramétricas para cada cônica.
\mathcal{C}: x^{2}+4 y^{2}-2 x-16 y=-1

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^{2}+4y^{2}-2x-16y=-1
e pede suas equações paramétricas. O conteúdo aqui é identificar o tipo de cônica (ao completar o quadrado) e, em seguida, escrever a forma padrão para então parametrizar.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x e em y. Reescrevendo,
x^{2}-2x \;+\;4\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;=\;-1.
Agora, complete quadrados:
x^{2}-2x+1 \;=\;(x-1)^{2}, \qquad y^{2}-4y+4 \;=\;(y-2)^{2}.
Somamos 1 em x e 4\cdot4=16 em 4(y^{2}-4y), então do lado direito adicionamos 1+16=17. Assim,
(x-1)^{2} + 4(y-2)^{2} = -1 + 17 = 16.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 16 para obter a forma padrão,
\frac{(x-1)^{2}}{16} \;+\;\frac{(y-2)^{2}}{4} \;=\;1.
Isso mostra que \mathcal{C} é uma elipse centrada em (1,2) com semi-eixo maior a=4 ao longo de x e semi-eixo menor b=2 ao longo de y.

Passo 4

A parametrização usual de uma elipse na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
é
x = h + a\cos t, \quad y = k + b\sin t, \quad t\in[0,2\pi).
Aqui (h,k)=(1,2), a=4, b=2.

Resposta

\begin{cases} x(t) = 1 + 4\cos t,\\\ y(t) = 2 + 2\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi).

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