Expresse a área de uma região R do plano x y como uma integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse a área de uma região R do plano x y como uma integral dupla.
Informações dadas (apenas o que o enunciado exige):
  • Quer-se uma expressão matemática que represente a área de R usando integral dupla.
  • Não há mais informação sobre a forma de R (pode ser um conjunto qualquer no plano).

Passo 2

Ideia principal — o que significa área em termos de integrais:
A área de uma região R é a soma (integral) de pequenos elementos de área dA que cobrem R. Escrever isso em linguagem de cálculo multivariável dá a fórmula direta:
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
Explicando: dA representa um “pequeno pedaço de área” (um elemento diferencial de área). A integral dupla \iint_{R} dA soma todos esses pedaços sobre toda a região R. Uma forma equivalente e muitas vezes mais explícita é escrever a integrando como 1, pois estamos somando “1 vezes cada pequeno pedaço de área”:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.Á
Isso já é a resposta geral; a partir daqui precisamos ver como converter essa integral dupla em integrais iteradas para calcular efetivamente.

Passo 3

Regiões tipo I (descritas por y entre duas curvas que dependem de x).
Se R pode ser descrita como
R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\},
então escrevemos a integral dupla como uma integral iterada (integrar primeiro em y, depois em x):
\text{Área}(R)=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} 1\,dy\right)dx.Á
O que cada símbolo significa:
  • a e b são os limites no eixo x — o intervalo projetado de R sobre o eixo x.
  • g_{1}(x) e g_{2}(x) são as curvas que limitam R por baixo e por cima, respectivamente.
  • A integral interna \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} 1\,dy calcula a altura (em y) da fatia vertical em x; depois a integral externa soma essas alturas ao longo de x.

Passo 4

Regiões tipo II (descritas por x entre duas curvas que dependem de y).
Se R pode ser descrita como
R=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_{1}(y)\le x\le h_{2}(y)\},
então escrevemos:
\text{Área}(R)=\int_{c}^{d}\left(\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} 1\,dx\right)dy.Á
Aqui:
  • c,d são limites no eixo y — a projeção de R no eixo y.
  • h_{1}(y) e h_{2}(y) são curvas que limitam R à esquerda e à direita.
  • A integral interna \int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} 1\,dx dá a largura da fatia horizontal em nível y; a integral externa soma essas larguras em y.

Passo 5

Como escolher a ordem e quando dividir a região: dicas práticas para a prova
  • Projeção: encontre a projeção de R no eixo x (para tipo I) e no eixo y (para tipo II). Essas projeções dão a,b ou c,d.
  • Para cada x (ou y) dentro da projeção, determine as curvas que dão os limites superiores e inferiores (ou esquerdo/direito).
  • Se R não for descrito por uma única “faixa” g_1, g_2 para todo o intervalo, divida R em sub-regiões onde cada sub-região é tipo I ou tipo II e some as integrais.
  • Escolha a ordem que torne os limites mais simples. Se uma ordem leva a raízes ou relações complicadas, tente a outra ordem.

Passo 6

Exemplo 1 (retângulo) — demonstração mecânica simples:
Considere R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; c\le y\le d\}. Então:
\text{Área}(R)=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} 1\,dy\,dx.Á
Calculando a integral interna:
\int_{c}^{d}1\,dy=d-c.
Logo
\text{Área}(R)=\int_{a}^{b} (d-c)\,dx=(d-c)(b-a),Á
que é a fórmula conhecida da área do retângulo. Esse exemplo mostra que a integral dupla generaliza a idéia que você já conhece.

Passo 7

Exemplo 2 (triângulo) — aplicar tipo I:
Triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). A região pode ser escrita como
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1-x\}.
Então
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-x} 1\,dy\right)dx.Á
Integral interna: \int_{0}^{1-x}1\,dy=1-x. Portanto
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}(1-x)\,dx=\Bigl[x-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},Á
que é o resultado esperado.

Passo 8

Coordenadas polares — quando R é mais fácil em polar (círculos, setores, etc.)
Em coordenadas polares (r,\theta) temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. O elemento de área não é simplesmente dr\,d\theta; por conta da mudança de variáveis aparece um fator jacobiano r. Assim:
dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto, se R é descrito em polares por
R=\{(r,\theta)\mid \alpha\le\theta\le\beta,\; 0\le r\le R(\theta)\},
a área é
\text{Área}(R)=\int_{\alpha}^{\beta}\left(\int_{0}^{R(\theta)} r\,dr\right)d\theta.Á
Breve justificativa do r: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área aproximada é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 9

Exemplo 3 (círculo unitário) — usar polares para confirmar \pi:
Região R dado por x^{2}+y^{2}\le 1. Em polares, 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. Assim:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right)d\theta.Á
Integral interna: \int_{0}^{1} r\,dr=\tfrac{1}{2}. Então
\text{Área}(R)=\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\,d\theta=\tfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi,Á
que dá a área conhecida \pi do círculo unitário.

Passo 10

Resumo prático para a prova (passos que você pode seguir rapidamente)
  1. Identifique se R é naturalmente tipo I, tipo II ou melhor em coordenadas polares.
  2. Escreva \text{Área}(R)=\iint_{R}1\,dAÁ.
  3. Converta para integral iterada escolhendo a ordem conveniente e determinando os limites (ou use r\,dr\,d\theta se for polar).
  4. Se necessário, divida R em partes onde os limites ficam simples e some as áreas.
  5. Calcule as integrais internas primeiro, depois as externas.

Resposta

\text{Área}(R)=\iint_{R} dA=\iint_{R} 1\,dAÁ\n
Se R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\} então \text{Área}(R)=\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} 1\,dy\,dxÁ\n
Se R=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_{1}(y)\le x\le h_{2}(y)\} então \text{Área}(R)=\displaystyle\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} 1\,dx\,dyÁ\n
Em coordenadas polares, com dA=r\,dr\,d\theta, \text{Área}(R)=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\int_{0}^{R(\theta)} r\,dr\,d\thetaÁ

Exercícios relacionados