Expresse a área de uma região
do plano
como uma integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede que eu expresse a área de uma região
do plano
como uma integral dupla.
Informações dadas (apenas o que o enunciado exige):
Informações dadas (apenas o que o enunciado exige):
- Quer-se uma expressão matemática que represente a área de
usando integral dupla. - Não há mais informação sobre a forma de
(pode ser um conjunto qualquer no plano).
Passo 2
Ideia principal — o que significa área em termos de integrais:
A área de uma região é a soma (integral) de pequenos elementos de área
que cobrem
. Escrever isso em linguagem de cálculo multivariável dá a fórmula direta:
A área de uma região
Explicando:
representa um “pequeno pedaço de área” (um elemento diferencial de área). A integral dupla
soma todos esses pedaços sobre toda a região
. Uma forma equivalente e muitas vezes mais explícita é escrever a integrando como
, pois estamos somando “1 vezes cada pequeno pedaço de área”:
Isso já é a resposta geral; a partir daqui precisamos ver como converter essa integral dupla em integrais iteradas para calcular efetivamente.
Passo 3
Regiões tipo I (descritas por
entre duas curvas que dependem de
).
Se pode ser descrita como
Se
então escrevemos a integral dupla como uma integral iterada (integrar primeiro em
, depois em
):
O que cada símbolo significa:
-
e são os limites no eixo — o intervalo projetado de sobre o eixo . -
e são as curvas que limitam por baixo e por cima, respectivamente. - A integral interna
calcula a altura (em ) da fatia vertical em ; depois a integral externa soma essas alturas ao longo de .
Passo 4
Regiões tipo II (descritas por
entre duas curvas que dependem de
).
Se pode ser descrita como
Se
então escrevemos:
Aqui:
-
são limites no eixo — a projeção de no eixo . -
e são curvas que limitam à esquerda e à direita. - A integral interna
dá a largura da fatia horizontal em nível ; a integral externa soma essas larguras em .
Passo 5
Como escolher a ordem e quando dividir a região: dicas práticas para a prova
- Projeção: encontre a projeção de
no eixo (para tipo I) e no eixo (para tipo II). Essas projeções dão ou . - Para cada
(ou ) dentro da projeção, determine as curvas que dão os limites superiores e inferiores (ou esquerdo/direito). - Se
não for descrito por uma única “faixa” para todo o intervalo, divida em sub-regiões onde cada sub-região é tipo I ou tipo II e some as integrais. - Escolha a ordem que torne os limites mais simples. Se uma ordem leva a raízes ou relações complicadas, tente a outra ordem.
Passo 6
Exemplo 1 (retângulo) — demonstração mecânica simples:
Considere . Então:
Considere
Calculando a integral interna:
Logo
que é a fórmula conhecida da área do retângulo. Esse exemplo mostra que a integral dupla generaliza a idéia que você já conhece.
Passo 7
Exemplo 2 (triângulo) — aplicar tipo I:
Triângulo com vértices ,
e
. A região pode ser escrita como
Triângulo com vértices
Então
Integral interna:
. Portanto
que é o resultado esperado.
Passo 8
Coordenadas polares — quando
é mais fácil em polar (círculos, setores, etc.)
Em coordenadas polares temos
,
. O elemento de área não é simplesmente
; por conta da mudança de variáveis aparece um fator jacobiano
. Assim:
Em coordenadas polares
Portanto, se
é descrito em polares por
a área é
Breve justificativa do
: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente
e
, então sua área aproximada é
.
Passo 9
Exemplo 3 (círculo unitário) — usar polares para confirmar
:
Região dado por
. Em polares,
,
. Assim:
Região
Integral interna:
. Então
que dá a área conhecida
do círculo unitário.
Passo 10
Resumo prático para a prova (passos que você pode seguir rapidamente)
- Identifique se
é naturalmente tipo I, tipo II ou melhor em coordenadas polares. - Escreva
. - Converta para integral iterada escolhendo a ordem conveniente e determinando os limites (ou use
se for polar). - Se necessário, divida
em partes onde os limites ficam simples e some as áreas. - Calcule as integrais internas primeiro, depois as externas.
Resposta
Se
Se
Em coordenadas polares, com