Escreva as equações paramétricas e represente no espaço tridimensional os seguintes caminhos:
O caminho C dado pelo triângulo de vértices (0,0,0),(2,3,0) e (2,2,3), nesse sentido.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as equações paramétricas de um caminho fechado C que forma o triângulo de vértices (0,0,0), (2,3,0) e (2,2,3), com sentido igual a essa ordem. O conteúdo aqui é representação vetorial paramétrica de segmentos de reta no espaço R^3.

Passo 2

Segmento de (0,0,0) até (2,3,0). Uma forma padrão é
r1(t) = (1-t),(0,0,0) + t,(2,3,0) , 0 <= t <= 1
que simplifica para
r1(t) = l(2t,;3t,;0r),, tin[0,1]

Passo 3

Segmento de (2,3,0) até (2,2,3). Usando o mesmo artifício,
r2(t) = (1-t),(2,3,0) + t,(2,2,3) , 0 <= t <= 1
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r2(t) = l(2,;3 - t,;3tr),, tin[0,1]

Passo 4

Segmento de (2,2,3) de volta a (0,0,0). Parametrizamos:
r3(t) = (1-t),(2,2,3) + t,(0,0,0) , 0 <= t <= 1
que dá
r3(t) = l(2 - 2t,;2 - 2t,;3 - 3tr),, tin[0,1]

Passo 5

Para representar em 3D, cada ri(t) descreve um lado do triângulo. O primeiro lado fica no plano z=0, o segundo sobe linearmente em z enquanto y diminui, e o terceiro volta ao plano z=0 apoiando-se em (0,0,0). Unindo esses três segmentos fechamos o triângulo.

Resposta

r(t)= l(2t,;3t,;0r),&0<= t<=1, l(2,;3 - (t-1),;3(t-1)r),&1<= t<=2, l(2-2(t-2),;2-2(t-2),;3-3(t-2)r),&2<= t<=3
ou de forma em que cada segmento usa tin[0,1]:
r1(t)=(2t,3t,0), r2(t)=(2,3-t,3t), r3(t)=(2-2t,2-2t,3-3t)

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