Escreva as equações paramétricas e represente no espaço tridimensional os seguintes caminhos:
O caminho C dado pelo arco de circunferência no plano y z, centrado na origem, que une os pontos (0,0,-2) a (0,0,2) nesse sentido e com y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização de um arco de circunferência de raio 2, centrada na origem, que vive no plano y!z (logo x=0) e vai do ponto (0,0,-2) até (0,0,2), no sentido em que o valor de y permanece não-negativo ( y>=0). O conteúdo é “curvas paramétricas em R^3”.

Passo 2

Primeiro, a circunferência completa de raio 2 no plano y!z satisfaz
x=0, y^2+z^2=4
Uma parametrização padrão dessa circunferência é
x(t)=0, y(t)=2sin(t), z(t)=2cos(t),
com t variando em [0,2pi]. Para cada t obtemos um ponto em y^2+z^2=4.

Passo 3

Precisamos escolher um trecho desse círculo que comece em (0,0,-2) e termine em (0,0,2), com y>=0. No modelo acima, em t=0 temos (0,0,2) e em t=pi temos (0,0,-2), o contrário do desejado. Para inverter o sentido sem perder a propriedade y>=0, usamos
z(t)=-2cos(t),
ficando
x(t)=0, y(t)=2sin(t), z(t)=-2cos(t),
com tin[0,pi]. Assim:
  • em t=0 temos (0,0,-2);
  • em t=pi temos (0,0,2);
  • para 0<t<pi nota-se sin(t)>0, logo y(t)>=0.

Passo 4

Geometricamente, essa curva é a semicircunferência do plano x=0, raio 2, ligando (0,0,-2) a (0,0,2) pela “parte da frente” (onde y>=0).

Resposta

boxedx(t)=0, y(t)=2sin(t), z(t)=-2cos(t), 0<= t<=pi
No espaço tridimensional, C é a semicircunferência de y^2+z^2=4 em x=0 com y>=0, unindo (0,0,-2) a (0,0,2).

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