Escreva as equações paramétricas e represente no espaço tridimensional os seguintes caminhos:
O caminho
dado pelo arco de circunferência no plano
, centrado na origem, que une os pontos
a
nesse sentido e com
.
O caminho
Passo 1
O enunciado pede a parametrização de um arco de circunferência de raio
, centrada na origem, que vive no plano
(logo
) e vai do ponto
até
, no sentido em que o valor de
permanece não-negativo (
). O conteúdo é “curvas paramétricas em
”.
Passo 2
Primeiro, a circunferência completa de raio
no plano
satisfaz
Uma parametrização padrão dessa circunferência é
com
variando em
. Para cada
obtemos um ponto em
.
Passo 3
Precisamos escolher um trecho desse círculo que comece em
e termine em
, com
. No modelo acima, em
temos
e em
temos
, o contrário do desejado. Para inverter o sentido sem perder a propriedade
, usamos
ficando
com
. Assim:
- em
temos ; - em
temos ; - para
nota-se , logo .
Passo 4
Geometricamente, essa curva é a semicircunferência do plano
, raio
, ligando
a
pela “parte da frente” (onde
).
Resposta
No espaço tridimensional,
é a semicircunferência de
em
com
, unindo
a
.