Escreva as equações paramétricas e represente no plano os seguintes caminhos:
O caminho C dado pelo trecho do gráfico da hipérbole x y=4 que une os pontos (4,1) a (2,2) nesse sentido.

Passo 1

Temos a hipérbole dada implicitamente por xy=4 e precisamos parametrizar o trecho que vai de (4,1) a (2,2). A ideia geral para parametrizar uma curva implícita F(x,y)=0 é escolher uma das coordenadas como função de um parâmetro t e obter a outra a partir da condição da curva. Além disso, devemos garantir que o parâmetro siga a direção desejada, de (4,1) para (2,2).

Passo 2

Escolhemos então x(t)=6 - t. Assim, em t=2 temos x=4 (início do caminho) e em t=4 temos x=2 (fim do caminho). Substituindo em xy=4 obtemos

Passo 3

y(t)=4x(t)=46 - t

Passo 4

Como t varia de 2 até 4, cobrimos exatamente o trecho entre (4,1) e (2,2). Para representar graficamente, basta traçar no primeiro quadrante a curva parametrizada, vendo que x decresce de 4 a 2 enquanto y cresce de 1 a 2, formando o ramo da hipérbole.

Resposta

x(t)=6 - t, y(t)=46 - t, tin[2,4]

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