Escreva as equações paramétricas e represente no plano os seguintes caminhos:
O caminho C dado pelo trecho do gráfico de y=x^2-1 que une os pontos (0,-1) a (2,3) nesse sentido.

Passo 1

Temos o caminho C que é o trecho do gráfico da função y = x² − 1 que vai do ponto (0,−1) até o ponto (2,3). O conteúdo aqui é parametrização de curvas no plano: transformar a curva y = f(x) em equações paramétricas usando um parâmetro t.

Passo 2

Para parametrizar uma curva dada por y = f(x), a ideia é escolher x como parâmetro t e então escrever y em função de t, ou seja, x(t) = t e y(t) = f(t). O intervalo de t é determinado pelos valores de x nos pontos finais do trecho.

Passo 3

Observando que no trecho desejado x varia de 0 até 2, escolhemos t em [0,2]. Assim definimos:

Passo 4

x(t)=t,

Passo 5

y(t)=t^2-1,

Passo 6

com o parâmetro variando de 0 a 2. Verificamos que para t=0 temos (x,y)=(0,−1) e para t=2 temos (x,y)=(2,3), respeitando o sentido pedido.

Passo 7

Para representar no plano, imaginamos o pedaço da parábola y = x² − 1 entre x=0 e x=2, começando em (0,−1) e subindo suavemente até (2,3).

Resposta

As equações paramétricas do caminho C são
x(t)=t,
y(t)=t^2-1,
para 0<= t<=2.

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