Questāo 4
Uma colmeia é formada por alvéolos na forma de hexágonos, figuras que possuem seis lados. Quando novos alvéolos sāo adicionados, alguns dos lados se sobrepōem. Se começarmos com dois alvéolos conectados, o número de lados da colmeia seráá 11.
Qual o número mínimo de lados dessa colmeia após acrescentar 2 alvéolos?

Passo 1

O enunciado diz que cada alvéolo hexagonal tem 6 lados, mas quando dois alvéolos compartilham uma aresta essa aresta conta apenas uma vez no total. Começando com dois alvéolos conectados temos
S(2) = 6cdot 2 - M0 = 12 - 1 = 11,
onde M0=1 é o número de arestas compartilhadas inicialmente. A tarefa é acrescentar mais 2 alvéolos (chegando a n=4) de modo a minimizar o número total de arestas S(4).

Passo 2

Em geral, se n é o número de alvéolos e M o total de arestas compartilhadas, vale
S(n)=6n - M
Inicialmente temos n0=2, M0=1 e S(2)=11. Ao adicionar 2 alvéolos, n passa a ser 4 e o novo total de arestas compartilhadas é
M = M0 + M1 = 1 + M1,
onde M1 é o número de arestas compartilhadas envolvendo os dois alvéolos novos (tanto entre si quanto com os antigos). Logo
S(4) = 6cdot 4 - M = 24 - (1 + M1) = 23 - M1

Passo 3

Para minimizar S(4) é preciso maximizar M1. Observações geométricas no empacotamento hexagonal mostram que:
  1. Cada novo alvéolo pode, no máximo, compartilhar 2 arestas com o conjunto inicial de 2 alvéolos (pois só há dois vizinhos possíveis).
  2. Os dois alvéolos novos podem entre si compartilhar no máximo 1 aresta.
Isso daria em princípio M1<= 2+2+1=5. Mas uma verificação de posição mostra que não existe configuração em que ambos compartilhem 2 arestas com o conjunto antigo e ainda se toquem entre si. O máximo realizável é
M1 = 4

Passo 4

Substituindo em
S(4)=23 - M1
vemos que o menor número de arestas possível após adicionar os dois alvéolos é
S(4) = 23 - 4 = 19

Resposta

O número mínimo de lados da colmeia com 4 alvéolos é 19.

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