Questāo 4
Uma colmeia é formada por alvéolos na forma de hexágonos, figuras que possuem seis lados. Quando novos alvéolos sāo adicionados, alguns dos lados se sobrepōem. Se começarmos com dois alvéolos conectados, o número de lados da colmeia seráá 11.
Qual o número mínimo de lados dessa colmeia após acrescentar 2 alvéolos?
Uma colmeia é formada por alvéolos na forma de hexágonos, figuras que possuem seis lados. Quando novos alvéolos sāo adicionados, alguns dos lados se sobrepōem. Se começarmos com dois alvéolos conectados, o número de lados da colmeia seráá 11.
Passo 1
O enunciado diz que cada alvéolo hexagonal tem
lados, mas quando dois alvéolos compartilham uma aresta essa aresta conta apenas uma vez no total. Começando com dois alvéolos conectados temos
onde
é o número de arestas compartilhadas inicialmente. A tarefa é acrescentar mais
alvéolos (chegando a
) de modo a minimizar o número total de arestas
.
Passo 2
Em geral, se
é o número de alvéolos e
o total de arestas compartilhadas, vale
Inicialmente temos
,
e
. Ao adicionar
alvéolos,
passa a ser
e o novo total de arestas compartilhadas é
onde
é o número de arestas compartilhadas envolvendo os dois alvéolos novos (tanto entre si quanto com os antigos). Logo
Passo 3
Para minimizar
é preciso maximizar
. Observações geométricas no empacotamento hexagonal mostram que:
- Cada novo alvéolo pode, no máximo, compartilhar
arestas com o conjunto inicial de alvéolos (pois só há dois vizinhos possíveis). - Os dois alvéolos novos podem entre si compartilhar no máximo
aresta.
Isso daria em princípio
. Mas uma verificação de posição mostra que não existe configuração em que ambos compartilhem
arestas com o conjunto antigo e ainda se toquem entre si. O máximo realizável é
Passo 4
Substituindo em
vemos que o menor número de arestas possível após adicionar os dois alvéolos é
Resposta
O número mínimo de lados da colmeia com 4 alvéolos é
.