Escreva equações paramétricas para a reta r=pi1 cap pi2, onde pi1: 2 x-y-3=0 e pi2: 3 x+y+2 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta de interseção r=pi1cappi2, onde as duas planas são
pi1:2x - y - 3 = 0,
pi2:3x + y + 2z - 1 = 0
Este é um problema de geometria analítica em R^3. Para achar a reta de interseção, precisamos de dois elementos: um vetor diretor da reta (obtido como produto vetorial dos normais das planas) e um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores normais de cada plano:
n1 = (2,,-1,,0), n2 = (3,,1,,2)
O vetor diretor v da reta é dado pelo produto vetorial n1timesn2:
v =n1timesn2 = i & j & k 2 & -1 & 0 3 & 1 & 2 =(-2,,-4,,5)

Passo 3

Para encontrar um ponto P na reta, escolhemos valores convenientes para duas incógnitas e resolvemos para a terceira. Por exemplo, fixamos x=0.
Na equação de pi1 temos
2cdot 0 - y - 3 = 0Longrightarrow y=-3
Substituindo em pi2:
3cdot 0 + (-3) + 2z - 1 = 0 Longrightarrow 2z = 4 Longrightarrow z=2
Logo, um ponto de interseção é P=(0,,-3,,2).

Passo 4

Com o ponto P e o vetor diretor v, as equações paramétricas da reta são
l(x,y,zr) = l(0,,-3,,2r) + t,(-2,,-4,,5),
ou seja
x = -2t, y = -3 - 4t, z = 2 + 5t,
onde tinR.

Resposta

x = -2t, y = -3 - 4t, z = 2 + 5t, tinR

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