Estude a posição relativa entre r e pi.
(1) r: X=(1,1,1)+lambda(3,2,1) e pi: X=(1,1,3)+mu(1,-1,1)+nu(0,1,3)
(2) r: X=(2,2,1)+lambda(3,3,0) e pi: X=(1,0,1)+mu(1,1,1)+nu(0,0,3)
(3) r: x-2 y=3-2 z+y=2 x-z e pi: X=(1,4,0)+,mu(1,1,1)+nu(2,1,0)
(4) r: X=(1,1,0)+lambda(0,1,1) e pi: x-y-z=2
(5) r: x+23=y-1=z+33 e pi: 3 x-6 y-z=0

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre cada reta r e cada plano pi. Para isso vamos usar a seguinte estratégia:
  1. Extrair o vetor diretor v de r.
  2. Determinar um vetor normal n de pi a partir do produto vetorial de dois vetores diretores do plano.
  3. Calcular o produto escalar vcdotn.
    • Se vcdotnneq0, então r não é paralelo ao plano e portanto intersecta pi em um ponto.
    • Se vcdotn=0, então r é paralelo a pi. Nesse caso, testamos se um ponto de r satisfaz a equação do plano:
      • Se satisfaz, rsubsetpi.
      • Caso contrário, rparal<=lpi sem interseção.

Passo 2

Caso (1):
r:;X=(1,1,1)+lambda(3,2,1),
pi:;X=(1,1,3)+mu(1,-1,1)+nu(0,1,3)
Os vetores geradores do plano são ,(1,-1,1) e (0,1,3), cujo produto vetorial dá
n = i&j&k 1&-1&1 0&1&3 =(-4,,-3,,1)
O vetor diretor da reta é v=(3,2,1).
vcdotn =3cdot(-4)+2cdot(-3)+1cdot1 =-17neq0
Logo r intersecta pi.

Passo 3

Caso (2):
r:;X=(2,2,1)+lambda(3,3,0),
pi:;X=(1,0,1)+mu(1,1,1)+nu(0,0,3)
Vetores diretores do plano (1,1,1) e (0,0,3) geram o normal
n =(1,1,1)times(0,0,3) =(3,-3,0)
O vetor diretor da reta é v=(3,3,0).
vcdotn =3cdot3+3cdot(-3)+0cdot0 =0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano. Tomamos o ponto (2,2,1) de r e testamos na equação cartesiana de pi, que é x-y=1. Em (2,2,1) temos 2-2=0neq1, ou seja, o ponto não pertence ao plano. Portanto rparal<=lpi sem interseção.

Passo 4

Caso (3):
A reta é dada por
x-2y = 3-2z+y = 2x-z
que, ao escolhermos y=s como parâmetro, leva a
X=(1,0,1)+sl(-tfrac13,1,tfrac53r)
portanto vetor diretor v=(-1,3,5) (até escala).
O plano é
X=(1,4,0)+mu(1,1,1)+nu(2,1,0),
cujo normal é
n =(1,1,1)times(2,1,0) =(-1,2,-1)
Calculamos
vcdotn =(-1)cdot(-1)+3cdot2+5cdot(-1) =1+6-5=2neq0
Logo há interseção única entre r e pi.

Passo 5

Caso (4):
r:;X=(1,1,0)+lambda(0,1,1),
pi:;x-y-z=2
Aqui o vetor normal do plano é n=(1,-1,-1) e o vetor diretor de r é v=(0,1,1).
vcdotn =0cdot1+1cdot(-1)+1cdot(-1) =-2neq0,
logo a reta corta o plano num ponto.

Passo 6

Caso (5):
r:;x+23=y-1=z+33=t ;Longrightarrow; X=(-2,1,-3)+t(3,1,3),
pi:;3x-6y-z=0,
com vetor diretor v=(3,1,3) e normal n=(3,-6,-1).
vcdotn =3cdot3+1cdot(-6)+3cdot(-1) =9-6-3=0
Reta paralela ao plano. Testando o ponto (-2,1,-3) em 3x-6y-z obtém-se -9neq0, logo não pertence ao plano. Assim rparal<=lpi sem interseção.

Resposta

(1) r intersecta pi (são concorrentes).
(2) rparal<=lpi sem interseção.
(3) r intersecta pi (são concorrentes).
(4) r intersecta pi (são concorrentes).
(5) rparal<=lpi sem interseção.

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