Estude a posição relativa entre e .
(1)
(2)
(3) e
(4)
(5)
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa entre cada reta e cada plano . Para isso vamos usar a seguinte estratégia:
Extrair o vetor diretor de .
Determinar um vetor normal de a partir do produto vetorial de dois vetores diretores do plano.
Calcular o produto escalar .
Se , então não é paralelo ao plano e portanto intersecta em um ponto.
Se , então é paralelo a . Nesse caso, testamos se um ponto de satisfaz a equação do plano:
Se satisfaz, .
Caso contrário, sem interseção.
Passo 2
Caso (1):
Os vetores geradores do plano são e , cujo produto vetorial dá
O vetor diretor da reta é v=(3,2,1).
vcdotn =3cdot(-4)+2cdot(-3)+1cdot1 =-17neq0
Logo r intersecta pi.
Passo 3
Caso (2):
r:;X=(2,2,1)+lambda(3,3,0),
pi:;X=(1,0,1)+mu(1,1,1)+nu(0,0,3)
Vetores diretores do plano (1,1,1) e (0,0,3) geram o normal
n =(1,1,1)times(0,0,3) =(3,-3,0)
O vetor diretor da reta é v=(3,3,0).
vcdotn =3cdot3+3cdot(-3)+0cdot0 =0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano. Tomamos o ponto (2,2,1) de r e testamos na equação cartesiana de pi, que é x-y=1. Em (2,2,1) temos 2-2=0neq1, ou seja, o ponto não pertence ao plano. Portanto rparal<=lpi sem interseção.
Passo 4
Caso (3):
A reta é dada por
x-2y = 3-2z+y = 2x-z
que, ao escolhermos y=s como parâmetro, leva a
X=(1,0,1)+sl(-tfrac13,1,tfrac53r)
portanto vetor diretor v=(-1,3,5) (até escala).
O plano é
Reta paralela ao plano. Testando o ponto (-2,1,-3) em 3x-6y-z obtém-se -9neq0, logo não pertence ao plano. Assim rparal<=lpi sem interseção.
Resposta
(1) r intersecta pi (são concorrentes).
(2) rparal<=lpi sem interseção.
(3) r intersecta pi (são concorrentes).
(4) r intersecta pi (são concorrentes).
(5) rparal<=lpi sem interseção.