Mostre que se A e B são matrizes comutáveis(isto é, A B=B A ), então
i) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2
ii) (A+B)(A-B)=A^2-B^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas fórmulas de “expansão” envolvendo matrizes A e B que comutam, isto é, satisfazem
AB = BA
O conteúdo que vamos usar é a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a comutatividade dada para agrupar termos iguais.

Passo 2

Vamos calcular (A+B)^2. Pela definição de “elevar ao quadrado” em matrizes, temos
(A+B)^2 = (A+B)(A+B)
Aplicando a distributividade,
(A+B)(A+B) = A,A + A,B + B,A + B,B = A^2 + AB + BA + B^2
Como AB = BA, podemos juntar os termos do meio:
AB + BA = 2,AB
Logo
(A+B)^2 = A^2 + 2,AB + B^2

Passo 3

Agora calculamos (A+B)(A-B). Novamente pela distributividade:
(A+B)(A-B) = A,A - A,B + B,A - B,B = A^2 - AB + BA - B^2
Usando de novo AB = BA, os dois termos do meio se cancelam:
-,AB + BA = 0
Portanto
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2

Resposta

i) (A+B)^2 = A^2 + 2,AB + B^2
ii) (A+B)(A-B) = A^2 - B^2

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