Mostre que se
e
são matrizes comutáveis(isto é,
), então
i)
ii)
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas fórmulas de “expansão” envolvendo matrizes
e
que comutam, isto é, satisfazem
O conteúdo que vamos usar é a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a comutatividade dada para agrupar termos iguais.
Passo 2
Vamos calcular
. Pela definição de “elevar ao quadrado” em matrizes, temos
Aplicando a distributividade,
Como
, podemos juntar os termos do meio:
Logo
Passo 3
Agora calculamos
. Novamente pela distributividade:
Usando de novo
, os dois termos do meio se cancelam:
Portanto
Resposta
i)
ii)
ii)