Escreva as equações paramétricas da tangente à circunferência
l x=x0+r cos (theta) y=y0+r sen(theta)
no ponto (x1, y1).

Passo 1

O enunciado dá a circunferência de centro
e pede as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto (,(x_{1},y_{1})].
Conteúdo: geometria analítica de curvas paramétricas e vetores tangentes.

Passo 2

Como (x1,y1) pertence à curva, existe theta1 tal que
x1=x0+rcos(theta1), y1=y0+rsen(theta1)
Logo
cos(theta1)=x1-x0r, sen(theta1)=y1-y0r

Passo 3

O vetor tangente à curva em função de theta é dado por
ddthetal(x(theta),y(theta)r) =l(-rsen(theta),,rcos(theta)r)
Avaliado em theta1, isso gera um vetor de direção da reta tangente:
v =l(-rsen(theta1),,rcos(theta1)r) =rl(-sen(theta1),,cos(theta1)r)

Passo 4

Substituindo sen(theta1) e cos(theta1) pelos valores do passo 2, obtemos
v =l(-(y1-y0),;x1-x0r)
Logo as equações paramétricas da reta tangente, tomando parâmetro t, são
x(t)=x1-(y1-y0),t, y(t)=y1+(x1-x0),t

Resposta

boxed x = x1 - (y1 - y0),t, y = y1 + (x1 - x0),t

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