Obtenha a equação reduzida da parábola de vértice V(0,0), foco pertencente ao semi-eixo positivo das ordenadas e cujo triângulo fundamental tem área 18.

Passo 1

O enunciado pede a parábola de vértice V(0,0) com foco no semieixo positivo das ordenadas e cujo triângulo fundamental tem área 18. O conteúdo aqui é geometria analítica de parábola: usaremos a forma reduzida x^2=4p,y, a definição de latus rectum e a área do triângulo fundamental formado pelo vértice e pelos extremos do latus rectum.

Passo 2

Para uma parábola com vértice na origem e foco em (0,p) com p>0, o eixo é vertical e a equação reduzida é
x^2 = 4p,y
O latus rectum é o segmento paralelo à diretriz (eixo x) que passa pelo foco.

Passo 3

As extremidades do latus rectum obtêm-se colocando y=p na equação:
x^2 = 4pcdot p = 4p^2
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;x = pm 2p
Os pontos são l(2p,pr) e l(-2p,pr).

Passo 4

O triângulo fundamental tem vértices em (0,0), (2p,p) e (-2p,p). A base é a distância entre (-2p,p) e (2p,p), ou seja 4p, e a altura é p. Assim a área é
12cdot(4p)cdot p ;=;2p^2

Passo 5

Impondo área igual a 18, temos
2p^2 = 18 Longrightarrow p^2 = 9 Longrightarrow p = 3
(dado que o foco fica no semieixo positivo das ordenadas).

Passo 6

Substituindo p=3 em x^2 = 4p,y, obtemos
x^2 = 4cdot 3,y = 12y

Resposta

x^2 = 12y

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